सैंपल अनुपात की प्रतिचयन वितरण (Sampling Distribution) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

आबादी का अनुपात (p)

सैंपल का आकार (n)

परिणाम

सैंपल अनुपात की मानक त्रुटि

0.05

p̂ की SE

प्रतिचयन वितरण का माध्य (μ_p̂ = p)	0.5
प्रसरण (p(1−p)/n)	0.0025
मानक त्रुटि	0.05

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल सैंपल अनुपात (sample proportion, p̂) की प्रतिचयन वितरण को बताता है। जब आप किसी आबादी, जिसका वास्तविक अनुपात p है, में से बार-बार n आकार के यादृच्छिक (random) सैंपल लेते हैं, तो हर बार मिलने वाले सैंपल अनुपात मिलकर अपनी एक अलग वितरण बनाते हैं। यह कैलकुलेटर उस वितरण का माध्य (mean) और मानक त्रुटि (standard error) देता है, ताकि आप विश्वास अंतराल (confidence interval) बना सकें, परिकल्पना परीक्षण (hypothesis test) कर सकें, या प्रतिचयन में होने वाले उतार-चढ़ाव का आकलन कर सकें।

इसका उपयोग कैसे करें

आबादी का अनुपात p को 0 और 1 के बीच दशमलव में दर्ज करें (उदाहरण के लिए, 40% के लिए 0.4), फिर सैंपल का आकार n भरें। कैलकुलेटर तुरंत माध्य (जो p के बराबर होता है), प्रसरण (variance) और प्रतिचयन वितरण की मानक त्रुटि (SE) दिखा देता है।

सूत्र की व्याख्या

प्रतिचयन वितरण का माध्य आबादी के अनुपात के बराबर होता है: \(\mu_{\hat{p}} = \text{p}\)। मानक त्रुटि यह मापती है कि सैंपल अनुपात p के आसपास कितना बदलते हैं, और इसका सूत्र है

$$\text{SE} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$

बड़े सैंपल मानक त्रुटि को घटा देते हैं, जिससे आपका अनुमान ज़्यादा सटीक हो जाता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) के अनुसार, जब \(n\text{p} \geq 10\) और \(n(1-\text{p}) \geq 10\) दोनों शर्तें पूरी होती हैं, तो यह वितरण लगभग सामान्य (normal) हो जाता है।

विज्ञापन

नमूना अनुपात का प्रतिचयन वितरण p पर केंद्रित होता है और इसका फैलाव मानक त्रुटि के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\text{p} = 0.5\) और \(\text{n} = 100\) है। तब माध्य 0.5 होगा। प्रसरण

$$\frac{0.5 \times 0.5}{100} = 0.0025$$

होगा, और मानक त्रुटि

$$\sqrt{0.0025} = 0.05$$

होगी। यानी सैंपल अनुपात आमतौर पर 0.5 के लगभग \(\pm 0.05\) के दायरे में आते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

माध्य p के बराबर क्यों होता है? क्योंकि सैंपल अनुपात आबादी के अनुपात का एक निष्पक्ष आकलक (unbiased estimator) है — औसतन यह वास्तविक मान पर ही टिकता है।

जैसे-जैसे n बढ़ता है, क्या होता है? मानक त्रुटि \(1/\sqrt{n}\) के अनुपात में घटती जाती है, इसलिए बड़े सैंपल के साथ अनुमान अधिक सटीक होते जाते हैं।

सामान्य सन्निकटन (normal approximation) कब मान्य होता है? एक आम नियम है \(n\text{p} \geq 10\) और \(n(1-\text{p}) \geq 10\); अन्यथा सटीक द्विपद (binomial) विधियों का उपयोग करना बेहतर रहता है।