Что такое метод Крамера?
Метод Крамера — это классический способ решения систем линейных уравнений с помощью определителей. Если записать систему в виде \(A \cdot x = b\), где A — квадратная матрица коэффициентов, а b — вектор свободных членов, то каждое неизвестное находится как отношение определителя видоизменённой матрицы к определителю A. Метод применим, когда \(\det(A) \neq 0\), — именно это условие гарантирует существование единственного решения.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите размер системы: 2×2 (два уравнения с неизвестными x и y) или 3×3 (три уравнения с неизвестными x, y и z). Введите коэффициенты матрицы A в таблицу построчно, а свободные члены — в столбец b. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет каждое неизвестное вместе с \(\det(A)\) и определителями замены \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) и \(\det(A_z)\). Если \(\det(A)\) окажется равным нулю, калькулятор сообщит, что единственного решения у системы нет.
Разбор формулы
Чтобы найти x, замените первый столбец матрицы A вектором b — получится матрица \(A_x\), после чего вычислите \(x = \det(A_x) / \det(A)\). Для y замените второй столбец и получите \(A_y\), для z — третий столбец. Знаменатель \(\det(A)\) одинаков для всех неизвестных, поэтому его достаточно посчитать один раз.
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
Пример с решением
Решим систему \(2x + y = 5\) и \(x + 3y = 10\). Здесь \(\det(A) = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 5\). Заменив первый столбец вектором b, получаем \(\det(A_x) = 5\cdot3 - 1\cdot10 = 5\), поэтому \(x = 5/5 = 1\). Заменив второй столбец, получаем \(\det(A_y) = 2\cdot10 - 5\cdot1 = 15\), значит \(y = 15/5 = 3\). Ответ: \(x = 1\), \(y = 3\).
Частые вопросы
Что делать, если \(\det(A) = 0\)? Тогда система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много; метод Крамера не даёт единственного ответа, поэтому используйте метод Гаусса.
Подходит ли метод для систем большего размера? Теоретически да, но при размерности выше 3×3 вычисления по методу Крамера становятся слишком громоздкими. Этот калькулятор охватывает два самых распространённых учебных случая.
Можно ли вводить отрицательные или дробные коэффициенты? Да. В любое поле можно вводить любые действительные числа, включая отрицательные и десятичные дроби.
