ما هو تصحيح الاستمرارية؟
عندما تقرّب التوزيع ذا الحدين المنفصل (Discrete) باستخدام التوزيع الطبيعي المتصل (Continuous)، تنتشر الكتلة الاحتمالية المتمركزة عند القيم الصحيحة على امتداد منحنى أملس. ويأتي تصحيح الاستمرارية ليعوّض عن ذلك عبر إزاحة القيمة الحدية بمقدار \(\pm 0.5\) قبل حساب الدرجة المعيارية \(z\)، مما يجعل التقريب الطبيعي أكثر دقة بوضوح — وخاصة عند أحجام العينات الصغيرة إلى المتوسطة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد المحاولات n، واحتمال النجاح p، والقيمة x التي تهتم بها. ثم اختر نوع الاحتمال الذي تريد تقريبه: في الحالة \(P(X \le x)\) نضيف \(0.5\) إلى \(x\)، وفي الحالة \(P(X \ge x)\) نطرح \(0.5\)، أما الحالة \(P(X = x)\) فتعطيك الدرجتين المعياريتين عند الحدّين معًا. تعرض الحاسبة الدرجة المعيارية \(z\) المصحَّحة إلى جانب المتوسط \((\text{n}\cdot\text{p})\) والانحراف المعياري \(\sqrt{\text{n}\,\text{p}\,(1-\text{p})}\).
شرح الصيغة
متوسط التوزيع ذي الحدين هو \(\mu = \text{n}\cdot\text{p}\)، وانحرافه المعياري هو \(\sigma = \sqrt{\text{n}\,\text{p}\,(1-\text{p})}\). أما الدرجة المعيارية \(z\) المصحَّحة بالاستمرارية فهي:
$$z = \frac{(\text{x} \pm 0.5) - \text{n}\cdot\text{p}}{\sqrt{\text{n}\,\text{p}\,(1-\text{p})}}$$بعد ذلك تبحث عن قيمة \(z\) هذه في جدول التوزيع الطبيعي المعياري (أو تستخدم دالة التوزيع التراكمي CDF) للحصول على الاحتمال التقريبي.
مثال محلول
لنفترض أن \(\text{n} = 100\) و\(\text{p} = 0.5\)، وتريد حساب \(P(X \le 60)\). يكون المتوسط \(\text{n}\cdot\text{p} = 50\)، والانحراف المعياري:
$$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5$$وبتطبيق التصحيح:
$$z = \frac{60 + 0.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$$وبالتالي فإن \(P(X \le 60) \approx \Phi(2.1) \approx 0.9821\).
الأسئلة الشائعة
متى أضيف 0.5 ومتى أطرحها؟ أضِف \(0.5\) عندما يشمل المتباينة القيمة من الأسفل (أي \(P(X \le x)\))، واطرح \(0.5\) عندما تشملها من الأعلى (أي \(P(X \ge x)\)).
متى يكون التقريب الطبيعي صالحًا؟ القاعدة التقريبية الشائعة هي أن يتحقق كلٌّ من \(\text{n}\cdot\text{p} \ge 5\) و\(\text{n}(1-\text{p}) \ge 5\).
لماذا نستخدم التصحيح أصلًا؟ من دونه يميل التقريب الطبيعي إلى التقليل أو المبالغة بشكل منهجي في احتمالات الذيول للبيانات المنفصلة؛ وإزاحة \(\pm 0.5\) تزيل معظم هذا الانحياز.
