सांतत्य सुधार कैलकुलेटर (नॉर्मल अनुमान)

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परिणाम

सांतत्य-सुधारित z-स्कोर

2.1

माध्य से मानक विचलन

माध्य (np)	50
मानक विचलन √(np(1−p))	5
सुधारित x मान	60.5
z निचला (x − 0.5)	0
z ऊपरी (x + 0.5)	0

सांतत्य सुधार (Continuity Correction) क्या है?

जब आप किसी असतत (discrete) बायनोमियल वितरण को सतत (continuous) नॉर्मल वितरण से अनुमानित करते हैं, तो जो प्रायिकता पूर्णांक मानों पर ठीक-ठीक टिकी होती है वह एक चिकने वक्र (smooth curve) पर "फैल" जाती है। सांतत्य सुधार इसकी भरपाई करता है—z-स्कोर निकालने से पहले सीमा मान (boundary value) को ±0.5 से खिसका देता है। इससे नॉर्मल अनुमान काफ़ी अधिक सटीक हो जाता है, ख़ासकर छोटे से मध्यम आकार के नमूनों (sample sizes) के लिए।

Discrete binomial bars overlaid with a smooth normal curve, with a shaded bar widened by half a unit on each side — The continuity correction extends a discrete bar by 0.5 on each side to match the continuous normal area.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या n, सफलता की प्रायिकता p, और वह मान x दर्ज करें जिसमें आपकी रुचि है। इसके बाद वह प्रकार चुनें जिस प्रायिकता का आप अनुमान लगाना चाहते हैं: $P(X \le x)$ में $x$ में 0.5 जोड़ा जाता है, $P(X \ge x)$ में 0.5 घटाया जाता है, और $P(X = x)$ दोनों सीमाओं के z-स्कोर लौटाता है। कैलकुलेटर सुधारित z-स्कोर के साथ-साथ माध्य $(np)$ और मानक विचलन $\sqrt{np(1-p)}$ भी बताता है।

सूत्र की व्याख्या

बायनोमियल माध्य $\mu = np$ होता है और इसका मानक विचलन $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ होता है। सांतत्य-सुधारित z-स्कोर इस प्रकार है:

$$z = \frac{(\text{x} \pm 0.5) - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

फिर इस $z$ को मानक नॉर्मल टेबल (standard normal table) में देखकर—या नॉर्मल CDF का उपयोग करके—अनुमानित प्रायिकता प्राप्त की जाती है।

Number line showing an integer x with arrows pointing outward by half a unit to x minus 0.5 and x plus 0.5 — Subtract 0.5 to include x; add 0.5 to exclude it — the direction depends on the inequality.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $n = 100$, $p = 0.5$, और आप $P(X \le 60)$ निकालना चाहते हैं। माध्य $np = 50$ है और $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5$। सुधार लागू करने पर:

$$z = \frac{60 + 0.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$$

अतः $P(X \le 60) \approx \Phi(2.1) \approx 0.9821$।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

0.5 कब जोड़ें और कब घटाएँ? जब असमानता में मान नीचे से शामिल होता है ($P(X \le x)$) तब 0.5 जोड़ें; जब वह ऊपर से शामिल होता है ($P(X \ge x)$) तब 0.5 घटाएँ।

नॉर्मल अनुमान कब मान्य होता है? एक आम अंगूठा-नियम (rule of thumb) यह है कि $np \ge 5$ और $n(1-p) \ge 5$ दोनों सही हों।

सुधार करना आख़िर ज़रूरी क्यों है? इसके बिना नॉर्मल अनुमान असतत डेटा के लिए टेल प्रायिकताओं (tail probabilities) को व्यवस्थित रूप से कम या ज़्यादा आँकता है; ±0.5 का खिसकाव इस झुकाव (bias) को काफ़ी हद तक हटा देता है।

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