連續性校正計算器

輸入計算

試驗次數 (n)

成功機率 (p)

數值 (x)

近似類型 P(X ≤ x)——使用 x + 0.5 P(X ≥ x)——使用 x − 0.5 P(X = x)——同時使用上下邊界

結果

連續性校正後 z 分數

2.1

距離平均數的標準差個數

平均數 (np)	50
標準差 √(np(1−p))	5
校正後的 x 值	60.5
z 下界 (x − 0.5)	0
z 上界 (x + 0.5)	0

什麼是連續性校正？

當我們用連續的常態分布來近似離散的二項分布時，原本集中在整數上的機率質量，會被「攤平」到一條平滑的曲線上。連續性校正的作用，就是在計算 \(z\) 分數之前先把邊界值平移 \(\pm 0.5\)，藉此補償這種落差，讓常態近似的結果明顯更準確——尤其在樣本數偏小或中等的情況下，效果特別顯著。

The continuity correction extends a discrete bar by 0.5 on each side to match the continuous normal area.

如何使用這個計算器

先輸入試驗次數 n、成功機率 p，以及你想計算的值 x。接著選擇要近似的機率類型：\(P(X \le x)\) 會把 \(x\) 加上 0.5，\(P(X \ge x)\) 會減去 0.5，而 \(P(X = x)\) 則會同時回傳上下兩個邊界的 \(z\) 分數。計算器會列出校正後的 \(z\) 分數，以及平均數（\(np\)）與標準差 \(\sqrt{np(1-p)}\)。

公式說明

二項分布的平均數為 \(\mu = np\)，標準差為 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)。連續性校正後的 \(z\) 分數則是

$$z = \frac{(\text{x} \pm 0.5) - np}{\sqrt{np(1 - p)}}$$

算出 \(z\) 值後，再查標準常態分布表（或使用常態累積分布函數 CDF），即可得到近似機率。

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Subtract 0.5 to include x; add 0.5 to exclude it — the direction depends on the inequality.

實例演練

假設 \(n = 100\)、\(p = 0.5\)，要求 \(P(X \le 60)\)。平均數 \(np = 50\)，標準差 \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5\)。套用校正：

$$z = \frac{60 + 0.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$$

因此 \(P(X \le 60) \approx \Phi(2.1) \approx 0.9821\)。

常見問題

什麼時候要加 0.5、什麼時候要減 0.5？當不等式由下方包含該值（\(P(X \le x)\)）時加 0.5；由上方包含該值（\(P(X \ge x)\)）時減 0.5。

常態近似在什麼情況下才適用？常見的經驗法則是同時滿足 \(np \ge 5\) 與 \(n(1-p) \ge 5\)。

為什麼一定要做校正？若不校正，常態近似在處理離散資料的尾端機率時，會系統性地低估或高估；加上 \(\pm 0.5\) 的平移，能消除其中大部分的偏誤。