Что такое поправка на непрерывность?
Когда дискретное биномиальное распределение приближают непрерывным нормальным, вероятностная «масса», сосредоточенная точно в целых числах, как бы «размазывается» вдоль гладкой кривой. Поправка на непрерывность компенсирует это: перед вычислением z-показателя граничное значение сдвигают на ±0,5. Благодаря этому нормальное приближение становится заметно точнее — особенно при малых и средних объёмах выборки.
Как пользоваться калькулятором
Введите число испытаний n, вероятность успеха p и интересующее вас значение x. Затем выберите тип вероятности, который нужно приблизить: для P(X ≤ x) к x прибавляется 0,5, для P(X ≥ x) — вычитается 0,5, а для P(X = x) выводятся оба граничных z-показателя. Калькулятор покажет скорректированный z-показатель, а также математическое ожидание \(np\) и стандартное отклонение \(\sqrt{np(1-p)}\).
Разбор формулы
Математическое ожидание биномиального распределения равно \(\mu = np\), а стандартное отклонение — \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). Скорректированный z-показатель вычисляется так:
$$z = \frac{(\text{x} \pm 0{,}5) - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$Затем найденное \(z\) ищут в таблице стандартного нормального распределения (или используют функцию нормального CDF), чтобы получить приближённое значение вероятности.
Разбор примера
Пусть \(n = 100\), \(p = 0{,}5\), и требуется найти P(X ≤ 60). Тогда математическое ожидание \(np = 50\), а \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5\). Применяем поправку:
$$z = \frac{60 + 0{,}5 - 50}{5} = \frac{10{,}5}{5} = 2{,}1$$Итого P(X ≤ 60) ≈ Φ(2,1) ≈ 0,9821.
Частые вопросы
Когда прибавлять, а когда вычитать 0,5? Прибавляйте 0,5, когда неравенство включает значение «снизу» (P(X ≤ x)); вычитайте 0,5, когда оно включает значение «сверху» (P(X ≥ x)).
Когда нормальное приближение применимо? Распространённое практическое правило: должны выполняться оба условия — \(np \geq 5\) и \(n(1-p) \geq 5\).
Зачем вообще нужна эта поправка? Без неё нормальное приближение систематически занижает или завышает вероятности «хвостов» для дискретных данных; сдвиг на ±0,5 устраняет бо́льшую часть этого смещения.
