连续性校正计算器

输入计算

试验次数 (n)

成功概率 (p)

取值 (x)

近似类型 P(X ≤ x) —— 取 x + 0.5 P(X ≥ x) —— 取 x − 0.5 P(X = x) —— 同时取两侧边界

结果

连续性校正后的 z 值

2.1

个标准差（与均值的偏离）

均值 (np)	50
标准差 √(np(1−p))	5
校正后的 x 值	60.5
z 下界 (x − 0.5)	0
z 上界 (x + 0.5)	0

什么是连续性校正？

用连续型的正态分布去近似离散型的二项分布时，原本集中在整数点上的概率质量会被“摊平”到一条光滑曲线上。连续性校正的做法是：在计算 \(z\) 值之前，把边界值整体平移 \(\pm 0.5\)，以此弥补这种偏差。这样一来，正态近似的精度会明显提升——尤其是在样本量较小或中等的情况下，效果格外突出。

The continuity correction extends a discrete bar by 0.5 on each side to match the continuous normal area.

如何使用本计算器

依次填入试验次数 n、单次成功概率 p，以及你关心的取值 x。接着选择你想近似的概率类型：\(P(X \le x)\) 会给 \(x\) 加上 0.5，\(P(X \ge x)\) 会减去 0.5，而 \(P(X = x)\) 则同时返回两侧边界的 \(z\) 值。计算器会输出校正后的 \(z\) 值，并一并给出均值（\(np\)）与标准差 \(\sqrt{np(1-p)}\)。

公式详解

二项分布的均值为 \(\mu = np\)，标准差为 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)。经过连续性校正后的 \(z\) 值为

$$z = \frac{(\text{x} \pm 0.5) - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

算出 \(z\) 后，查标准正态分布表（或借助正态分布的累积分布函数 CDF）即可得到近似概率。

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Subtract 0.5 to include x; add 0.5 to exclude it — the direction depends on the inequality.

实例演算

假设 \(n = 100\)、\(p = 0.5\)，要求 \(P(X \le 60)\)。此时均值 \(np = 50\)，标准差 \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5\)。代入校正公式：

$$z = \frac{60 + 0.5 - 50}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$$

于是 \(P(X \le 60) \approx \Phi(2.1) \approx 0.9821\)。

常见问题

什么时候加 0.5、什么时候减 0.5？当不等式从下方“包含”该取值时（即 \(P(X \le x)\)），加上 0.5；当从上方“包含”该取值时（即 \(P(X \ge x)\)），减去 0.5。

正态近似在什么条件下才靠谱？一条常用的经验法则是：同时满足 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\)。

为什么非要做这个校正？如果不做校正，正态近似在处理离散数据时会系统性地低估或高估尾部概率；而这 \(\pm 0.5\) 的平移，恰好能消除其中绝大部分偏差。