Phân phối Levy là gì?
Phân phối Levy là một phân phối xác suất liên tục dành cho biến ngẫu nhiên không âm. Đây là một trong số ít các phân phối ổn định có dạng mật độ xác suất tường minh (closed-form), đồng thời cũng là một trường hợp đặc biệt của phân phối nghịch đảo gamma (inverse-gamma). Phân phối được mô tả bởi hai tham số: tham số vị trí mu, có vai trò dịch chuyển phân phối sao cho miền giá trị bắt đầu từ \(x = \mu\), và tham số tỷ lệ \(c > 0\), kiểm soát mức độ phân tán. Do có đuôi phải cực kỳ nặng, phân phối Levy có kỳ vọng và phương sai không xác định (vô hạn), thế nhưng giá trị mật độ tại từng điểm cùng các xác suất tích lũy thì hoàn toàn xác định được.
Cách sử dụng máy tính này
Hãy nhập giá trị của biến ngẫu nhiên x, tham số vị trí mu, và tham số tỷ lệ dương c. Máy tính sẽ trả về mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(x) = P(X \le x)\), và xác suất tích lũy trên \(Q(x) = P(X > x)\). Với phân phối Levy chuẩn, bạn dùng \(\mu = 0\) và \(c = 1\). Nếu x nhỏ hơn hoặc bằng mu thì biến nằm ngoài miền giá trị, do đó mật độ bằng 0, \(P(x) = 0\) và \(Q(x) = 1\).
Giải thích công thức
Đặt \(y = x - \mu\). Với \(y > 0\), mật độ là $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$ Hàm phân phối tích lũy sử dụng hàm sai số bù (complementary error function): $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ và đuôi trên đơn giản là $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ Công cụ này tính erf và erfc bằng phép xấp xỉ hữu tỉ Abramowitz & Stegun 7.1.26, vốn cho độ chính xác khoảng bảy chữ số thập phân.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 3\), vậy \(y = 3\). Đối số là \(z = \sqrt{1/6} = 0{,}408248\). Mật độ bằng $$\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = \frac{0{,}398942 \cdot 0{,}846482}{5{,}196152} \approx 0{,}06499$$ Xác suất tích lũy dưới là \(P(3) = \operatorname{erfc}(0{,}408248) \approx 0{,}56373\), còn xác suất tích lũy trên là \(Q(3) = \operatorname{erf}(0{,}408248) \approx 0{,}43627\). Đúng như mong đợi, \(P + Q = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra nếu c bằng 0 hoặc âm? Tham số tỷ lệ bắt buộc phải dương ngặt; máy tính sẽ báo lỗi khi \(c \le 0\).
Tại sao mật độ bằng 0 khi x bằng mu? Miền giá trị bắt đầu tại \(x = \mu\) và mật độ tăng dần từ 0, đạt đến một mode duy nhất, rồi giảm chậm với một đuôi phải nặng.
Phân phối Levy có giá trị kỳ vọng không? Không. Cả kỳ vọng lẫn phương sai đều vô hạn, đó chính là lý do nó được dùng để mô hình hóa các hiện tượng có giá trị ngoại lai cực đoan, chẳng hạn như các chuyến bay Levy (Levy flights).
