海森堡不确定性原理计算器

输入计算

结果

Minimum Uncertainty in Momentum (Δp)

5.272859E-26

kg·m/s

已知不确定度	1E-9
约化普朗克常数（ħ）	1.054572e-34 J·s
关系式	Δx · Δp ≥ ħ/2

什么是海森堡不确定性原理？

海森堡不确定性原理是量子力学的基石之一。它指出：你无法同时精确测得一个粒子的位置和动量。其中一个量测得越精确，另一个量就越无法确定。用数学语言表述，这两个不确定度的乘积存在一个根本性的下限：$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。

展示量子粒子位置展宽与动量展宽之间反比权衡的示意图 — 缩小位置的不确定度（$\Delta x$）会扩大动量的不确定度（$\Delta p$），反之亦然。

如何使用本计算器

首先选择你要求解的目标——是动量的最小不确定度（$\Delta p$），还是位置的最小不确定度（$\Delta x$）。接着以「尾数 + 10 的幂次」的形式输入已知的不确定度。举例来说，位置不确定度为 $1\times10^{-9}$ m 时，尾数填 1，幂次填 -9。计算器随即给出与之互补的那个物理量的最小不确定度。

公式详解

约化普朗克常数为 $\hbar = 1.054571817\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$。该原理取等号（即最小不确定度）时写作 $\Delta x \cdot \Delta p = \frac{\hbar}{2}$。对未知量求解即可得到 $$\Delta p = \frac{\hbar}{2 \cdot \Delta x}$$ 或 $$\Delta x = \frac{\hbar}{2 \cdot \Delta p}$$ 式中的 ½ 因子源自将不确定度定义为标准差的标准表述。

Δp 对 Δx 的图，显示由不确定性原理设定的双曲线边界以上的允许区域 — 乘积 $\Delta x\cdot\Delta p$ 必须位于 $\frac{\hbar}{2}$ 边界曲线之上或其上方；下方区域在物理上被禁止。

实例演算

假设某个电子的位置确定到 $\Delta x = 1\times10^{-9}$ m 之内，那么动量的最小不确定度为 $$\Delta p = \frac{1.054571817\times10^{-34}}{2 \times 1\times10^{-9}} = 5.273\times10^{-26}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$$ 这个数值虽然极其微小，却不为零，正体现了量子世界对测量精度施加的根本限制。