¿Qué es la distribución lognormal híbrida?
La distribución lognormal híbrida, que se escribe HybLogN(\(\rho x, \mu, \sigma\)), es una distribución de probabilidad en la que la variable transformada \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) sigue una distribución normal con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\). Combina un término propio de la distribución normal (\(\rho x\)) con un término propio de la distribución lognormal (\(\ln(\rho x)\)). El parámetro de intensidad \(\rho > 0\) escala la variable subyacente. Debido al logaritmo, la distribución solo está definida para \(x > 0\). Se trata de un resultado universal de matemática pura, válido por igual en cualquier lugar.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué función quieres tabular: la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P o la probabilidad acumulada superior Q. Introduce el parámetro de intensidad \(\rho\), la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\). A continuación, fija el valor inicial de x, el tamaño del paso y el número de filas. La herramienta evalúa la función elegida en x = x0, x0+paso, x0+2·paso, … y muestra cada par (x, valor), además de la mediana xc.
La fórmula explicada
Sea \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) y \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\). La densidad es $$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$ El factor \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) es el jacobiano \(dy/dx\) dividido por \(\rho\). Como y crece estrictamente con x y recorre de \(-\infty\) a \(+\infty\), la probabilidad acumulada inferior es simplemente $$P(x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ donde \(\Phi\) es la función de distribución acumulada normal estándar. La acumulada superior es $$Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)$$
Ejemplo resuelto
Con \(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\) en \(x=1\): \(y = 1 + \ln(1) = 1\), de modo que \(z = 1\). La densidad es $$f = 0{,}3989423 \cdot (1+1) \cdot \exp(-0{,}5) = 0{,}3989423 \cdot 2 \cdot 0{,}6065307 \approx 0{,}4839$$ La acumulada inferior \(P = \Phi(1) \approx 0{,}8413\) y la acumulada superior \(Q \approx 0{,}1587\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué x debe ser positivo? El término \(\ln(\rho x)\) no está definido para \(\rho x \le 0\). En \(x = 0\) se toma la densidad como 0, con \(P = 0\) y \(Q = 1\) como valores límite.
¿Qué es la mediana? La mediana xc es la solución de \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\). Resolvemos numéricamente para \(\rho x_c\) y dividimos entre \(\rho\).
¿Qué precisión tiene la probabilidad acumulada? \(\Phi\) emplea la aproximación de erf 7.1.26 de Abramowitz-Stegun, con una precisión de aproximadamente \(1{,}5\times10^{-7}\).
