Что такое иррациональное уравнение?
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная стоит под знаком квадратного корня. Наш калькулятор работает с уравнениями вида \(\sqrt{ax + b} = c\), где a, b и c — действительные числа. Алгоритм выделяет корень, возводит обе части в квадрат и решает получившееся линейное уравнение относительно x, попутно проверяя, существует ли вообще действительное решение.
Как пользоваться калькулятором
Введите коэффициент a (множитель при x под корнем), свободный член b (слагаемое под корнем) и значение c (правую часть равенства). Нажмите «Вычислить» — и вы получите x вместе с подробным пошаговым решением. Если c отрицательно или a равно нулю, калькулятор сообщит, что действительных решений нет.
Разбор формулы
Исходим из равенства \(\sqrt{ax + b} = c\). Чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат: \(ax + b = c^{2}\). Дальше вычитаем b и делим на a, получая $$x = \frac{c^{2} - b}{a}.$$ Поскольку арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, исходное уравнение имеет смысл лишь при \(c \ge 0\). Если c отрицательно, ни одно действительное x уравнению не удовлетворяет. Коэффициент a также должен быть отличен от нуля — иначе переменная x попросту исчезает из уравнения.
Пример решения
Решим уравнение \(\sqrt{2x + 1} = 3\). Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 3\). Возводим обе части в квадрат: $$2x + 1 = 9.$$ Тогда \(2x = 8\), откуда \(x = 4\). Проверка: \(\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\). ✓
Частые вопросы
Почему при отрицательном c решения нет? Арифметический квадратный корень всегда \(\ge 0\), поэтому он не может быть равен отрицательному числу.
Что будет, если a = 0? Тогда в уравнении не остаётся слагаемого с x, решать нечего, и калькулятор сообщает, что решений нет.
Нужно ли всегда делать проверку? Да. При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому обязательно подставьте найденное x обратно в исходное уравнение.
