Что делает этот калькулятор
Инструмент применяет теорему Виета к квадратному уравнению в стандартном виде \(ax^{2} + bx + c = 0\). Не находя сами корни, он мгновенно выдаёт сумму и произведение корней. Это очень удобно, когда нужно проверить решение, составить уравнение по известным корням или решить задачу, в которой важны только сумма и произведение.
Как пользоваться
Введите три коэффициента: a (коэффициент при \(x^{2}\)), b (коэффициент при \(x\)) и c (свободный член). Коэффициент a не должен равняться нулю — иначе уравнение становится линейным, а не квадратным. Калькулятор покажет сумму \(-b/a\), произведение \(c/a\) и дискриминант \(b^{2} - 4ac\), по которому можно судить о характере корней.
Разбор формулы
Для любого квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) теорема Виета утверждает, что
$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$$Эти равенства выводятся прямо из разложения на множители:
$$a(x - x_1)(x - x_2) = ax^{2} - a(x_1+x_2)x + a\cdot x_1 x_2,$$после чего коэффициенты сравниваются с исходным уравнением.
Пример с решением
Возьмём \(x^{2} - 5x + 6 = 0\), то есть \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Сумма корней равна
$$-\frac{b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5,$$а произведение —
$$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6.$$И действительно, корни равны 2 и 3: их сумма равна 5, а произведение — 6. Дискриминант равен
$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$— положительный полный квадрат, что подтверждает наличие двух различных рациональных корней.
Частые вопросы
Нужно ли сначала решать уравнение? Нет. Формулы Виета дают сумму и произведение прямо из коэффициентов, решать уравнение не требуется.
О чём говорит дискриминант? Если \(b^{2} - 4ac\) больше нуля — у уравнения два действительных корня, если равен нулю — один кратный корень, а если меньше нуля — корни являются комплексно-сопряжёнными.
Может ли a быть равным нулю? Нет. При \(a = 0\) уравнение становится линейным, и формулы Виета для квадратного уравнения к нему неприменимы.
