ماذا تفعل هذه الحاسبة
تطبّق هذه الأداة قانون فييتا على معادلة تربيعية مكتوبة بصيغتها القياسية \(ax^{2} + bx + c = 0\). ودون الحاجة إلى إيجاد الجذور فعليًا، تعطيك على الفور مجموع الجذور وحاصل ضربها. وهذا مفيد للغاية للتحقق من حلولك، أو بناء معادلة انطلاقًا من جذور معلومة، أو حل المسائل التي يهمنا فيها المجموع والحاصل فقط.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة: a (معامل \(x^{2}\))، وb (معامل \(x\))، وc (الحد الثابت). يجب ألا يساوي المعامل \(a\) صفرًا، وإلا أصبحت المعادلة خطية لا تربيعية. تعطيك الحاسبة مجموع الجذور \(-b/a\)، وحاصل ضربها \(c/a\)، والمُميِّز \(b^{2} - 4ac\) الذي يكشف لك طبيعة الجذور.
شرح القانون
لأي معادلة تربيعية \(ax^{2} + bx + c = 0\) ذات جذرين \(x_{1}\) و\(x_{2}\)، ينص قانون فييتا على أن $$x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a}$$ وتنتج هاتان العلاقتان مباشرة من التحليل إلى عوامل: \(a(x - x_{1})(x - x_{2}) = ax^{2} - a(x_{1}+x_{2})x + a \cdot x_{1}x_{2}\)، ثم مطابقة المعاملات مع المعادلة الأصلية.
مثال محلول
لنأخذ \(x^{2} - 5x + 6 = 0\)، أي \(a = 1\) وb = -5 وc = 6. مجموع الجذور هو $$-\frac{b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5$$ وحاصل ضربها هو $$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$ وبالفعل الجذران هما 2 و3، ومجموعهما 5 وحاصل ضربهما 6. أما المُميِّز فهو $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ وهو عدد موجب ومربع كامل يؤكد وجود جذرين نسبيين متمايزين.
الأسئلة الشائعة
هل عليّ حل المعادلة التربيعية أولًا؟ لا. يعطيك قانون فييتا المجموع والحاصل مباشرة من المعاملات دون أي حل.
ماذا يخبرني المُميِّز؟ إذا كان \(b^{2} - 4ac\) موجبًا فهناك جذران حقيقيان، وإذا كان صفرًا فهناك جذر واحد مكرر، وإذا كان سالبًا فالجذران عددان مركّبان مترافقان.
هل يمكن أن يساوي a صفرًا؟ لا. إذا كان \(a = 0\) فالمعادلة خطية، ولا ينطبق عليها قانون فييتا الخاص بالمعادلة التربيعية.
