Что такое калькулятор длины дуги?
Этот инструмент вычисляет длину дуги окружности — то есть кривого участка вдоль её края — исходя из радиуса окружности и центрального угла, на который опирается дуга. Он подходит для любых единиц длины (см, м, дюймы, футы), потому что результат получается в тех же единицах, что и введённый радиус. Угол можно задавать как в радианах, так и в градусах.
Как пользоваться
Введите радиус \(r\) окружности и центральный угол \(\theta\). Выберите, в чём задан угол — в радианах или градусах, — и сразу получите длину дуги. В таблице результатов также показано значение угла в другой единице измерения, чтобы вы могли проверить правильность ввода.
Разбор формулы
Основное соотношение — $$s = r\theta$$ где \(\theta\) обязательно выражается в радианах. Это следует из самого определения радиана: угол в 1 радиан вырезает дугу, длина которой в точности равна радиусу. Полная окружность — это \(2\pi\) радиан, что даёт привычную длину окружности \(2\pi r\). Если угол задан в градусах, сначала переведите его в радианы по формуле $$\theta_{\text{рад}} = \theta^{\circ} \times \frac{\pi}{180}$$ а затем умножьте на радиус.
Пример расчёта
Пусть окружность имеет радиус 10 см и центральный угол 90°. Переводим угол: $$90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708 \text{ радиана}$$ Тогда $$s = 10 \times 1{,}5708 = 15{,}708 \text{ см}$$ Это ровно четверть полной длины окружности (\(2\pi \times 10 \approx 62{,}83\) см) — как и должно быть.
Частые вопросы
В каких единицах получается длина дуги? В тех же единицах длины, что и радиус — формула не зависит от выбора единиц.
Нужно ли переводить градусы вручную? Нет. Просто выберите «Градусы», и калькулятор сам переведёт угол в радианы.
А можно ли найти угол, если известна длина дуги? Да, достаточно преобразовать формулу: \(\theta = s / r\) (в радианах). Этот калькулятор находит \(s\), но то же уравнение даёт и \(\theta\).
Ключевые термины
- Длина дуги (\(s\))
- Расстояние, измеренное вдоль изогнутого края круга между двумя точками. Вычисляется как \(s = r\theta\), когда центральный угол \(\theta\) выражен в радианах.
- Радиус (\(r\))
- Прямолинейное расстояние от центра круга до любой точки на его краю. Длина дуги прямо пропорциональна радиусу.
- Центральный угол (\(\theta\))
- Угол, образованный в центре круга двумя радиусами, ограничивающими дугу. Он должен быть выражен в радианах для прямого использования формулы \(s = r\theta\).
- Радиан
- Единица угла, определяемая так, что угол в 1 радиан стягивает дугу, равную по длине радиусу. Полный круг составляет \(2\pi\) радиана \(\approx 6.2832\) рад \(= 360^\circ\).
- Центральный угол, стягивающий дугу
- Дуга называется стягиваемой её центральным углом, когда две стороны угла (радиусы) встречают круг в концах дуги. Больший стягиваемый угол соответствует более длинной дуге.
- Длина окружности (\(C\))
- Общее расстояние вокруг круга, равное длине дуги полного угла \(360^\circ\) (\(2\pi\) рад): \(C = 2\pi r\).
