À quoi sert le calculateur de condensation de logarithmes ?
Cet outil regroupe plusieurs logarithmes de même base en un seul logarithme. Il s'appuie sur les propriétés des logarithmes pour réécrire une expression de la forme \(a\cdot\log_{b}(x) + c\cdot\log_{b}(y) - d\cdot\log_{b}(z)\) sous la forme d'un logarithme unique et compact. C'est l'opération inverse du développement des logarithmes, et une étape fréquente en algèbre, en analyse et dans la résolution d'équations logarithmiques.
Comment l'utiliser
Saisissez la base commune b, puis les trois coefficients (a, c, d) et les trois arguments (x, y, z). Le calculateur affiche le logarithme combiné unique, ainsi que la valeur numérique de son argument et le résultat du logarithme évalué. Si un terme est absent, fixez son coefficient à 0 (ou son argument à 1).
La formule expliquée
Trois règles régissent le résultat. La règle de la puissance fait passer chaque coefficient en exposant : \(a\cdot\log_{b}(x) = \log_{b}(x^{a})\). La règle du produit transforme une somme de logarithmes en logarithme d'un produit. La règle du quotient transforme une différence en logarithme d'un quotient. Ensemble, elles donnent $$\log_{b}\!\left(\frac{x^{a}\,y^{c}}{z^{d}}\right)$$
Exemple résolu
Prenons la base 10 avec \(2\cdot\log(3) + 1\cdot\log(5) - 1\cdot\log(9)\). L'argument devient $$\frac{3^{2} \times 5^{1}}{9^{1}} = \frac{9 \times 5}{9} = 5.$$ L'expression se condense donc en \(\log_{10}(5) \approx 0{,}69897\).
FAQ
Tous les logarithmes doivent-ils avoir la même base ? Oui. Les règles du produit, du quotient et de la puissance ne s'appliquent que si chaque terme partage la même base.
Puis-je utiliser le logarithme népérien (ln) ? Oui — il suffit de fixer la base à \(e \approx 2{,}71828\).
Que se passe-t-il si mon argument est négatif ou nul ? Le logarithme numérique n'est pas défini ; seuls les arguments strictement positifs donnent une valeur de logarithme réelle.
