ما هو المثلث غير القائم؟
المثلث غير القائم (أو المثلث المائل) هو أي مثلث لا يحتوي على زاوية قياسها 90°. وبما أن قواعد المثلث القائم البسيطة (جا–جتا–ظا) لم تعد صالحة هنا، فإن المثلثات غير القائمة تُحَل بقاعدتين عامتين هما قانون الجيب وقانون جيب التمام. تقبل هذه الحاسبة أي تركيبة صحيحة من ثلاثة عناصر معلومة (على أن يكون من بينها ضلع واحد على الأقل)، ثم تُعيد لك بقية الأضلاع والزوايا الثلاث جميعها إضافةً إلى المحيط والمساحة.
طريقة الاستخدام
أدخل ثلاث قيم بالضبط — مثلاً ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ضلع–زاوية–ضلع)، أو زاويتين وضلعاً (زاوية–ضلع–زاوية)، أو الأضلاع الثلاثة كاملة (ضلع–ضلع–ضلع). اترك خانات القيم المجهولة فارغة. تُدخَل الزوايا بالدرجات. تتولى الحاسبة حساب العناصر الناقصة تلقائياً، وتحسب المساحة باستخدام صيغة هيرون.
شرح القوانين
ينص قانون الجيب على أن نسبة الضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة في الأزواج الثلاثة جميعها: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ وهو مثالي عندما تعرف زوجاً من زاوية وضلعها المقابل مع عنصر إضافي واحد. أما قانون جيب التمام، $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cdot\cos C$$ فهو تعميم لنظرية فيثاغورس، ويُستخدم حين يتعذر البدء بقانون الجيب — أي في حالة (ضلع–زاوية–ضلع) لإيجاد الضلع الثالث، وحالة (ضلع–ضلع–ضلع) لإيجاد إحدى الزوايا. وعندما يتوافر عدد كافٍ من العناصر، يُكمل مجموع الزوايا \(A + B + C = 180°\) المثلث.
مثال محلول
لنفترض أن الضلعين \(a = 5\) وb = 7 والزاوية المحصورة بينهما \(C = 60°\). بتطبيق قانون جيب التمام: $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cdot\cos 60° = 74 - 35 = 39$$ ومن ثم \(c \approx 6.245\). تُستنتَج الزاويتان المتبقيتان من قانون الجيب، أما المساحة فهي $$\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C = \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin 60° \approx 15.155$$ وحدة مربعة.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني حل مثلث من ثلاث زوايا فقط؟ لا — فالزوايا الثلاث (زاوية–زاوية–زاوية) تحدد شكل المثلث فقط لا حجمه. لا بد من إدخال ضلع واحد على الأقل.
وماذا عن الحالة الغامضة (ضلع–ضلع–زاوية غير محصورة)؟ عندما تُعطي ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، قد يوجد مثلثان صحيحان. تُعيد هذه الأداة الحل الحاد المستند إلى قانون الجيب؛ فتحقق من الشكل الهندسي إن كان هناك احتمال لوجود حل ثانٍ (منفرج).
ما الوحدات المستخدمة؟ الأضلاع أطوال بلا وحدة محددة، والزوايا بالدرجات؛ أما المساحة فتُقاس بالوحدات المربعة المقابلة.
