這個計算機的功能
當你已經知道項數、首項的值以及末項的值時，這個工具就能算出等差級數（也稱為等差數列）的總和。不必再一項一項手動相加，只要輸入三個數字，就能立刻得到結果。
使用方式
填入項數 n、首項 a₁ 以及末項 aₙ，按下計算即可看到總和。結果表格還會顯示「平均項」，也就是首項與末項的中間值──這個直覺正好說明了公式為什麼成立。
公式說明
總和的公式為：
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
這個巧思一般歸功於少年時期的高斯（Carl Friedrich Gauss）。把首項與末項、第二項與倒數第二項……依此配對，每一對的和都相同（\(a_1 + a_n\)）。這樣的配對共有 \(n/2\) 組，於是總和就是 \(n(a_1 + a_n)/2\)。由於每一項都是等距排列，所有項的平均值會等於頭尾兩端的平均值，而總和正好就是這個平均值乘上項數。
實例演算
以級數 1, 3, 5, 7, ..., 19 為例。此時 \(n = 10\)、\(a_1 = 1\)、\(a_n = 19\)，總和為：
$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = 100$$
若把這十個奇數直接相加（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）同樣得到 100，印證了公式的正確性。
定義與詞彙表
- 等差級數／等差數列
- 等差數列各項之和——一列數字，其中每一項與前一項相差一個固定的量。數列本身（1, 4, 7, 10, …）是級數；相加的總和（1 + 4 + 7 + 10）是級數和。
- n — 項數
- 相加的項數。必須是正整數；在 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) 中，它按比例調整總和。
- a₁ — 首項
- 數列的起始值，加法開始的項。
- aₙ — 末項
- 包含在總和中的最後一項（第 \(n\) 項）。與 \(a_1\) 一起，它設定相加值的範圍。
- d — 公差
- 從一項移動到下一項所加的常數，\(d = a_{k+1} - a_k\)。可從端點求得為 \(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\)。正的 \(d\) 給出遞增數列；負的 \(d\) 給出遞減數列。
- 平均項
- 所有項的平均值，等於 \(\frac{a_1 + a_n}{2}\)（也是 \(\frac{S_n}{n}\)）。因為各項均勻分佈，平均值就是首項和末項的中點，因此 \(S_n = n \times \text{(平均項)}\)。
常見問題
每一項一定要是整數嗎？ 不一定。只要相鄰兩項之間的間距固定，這個公式對任何等差數列都成立，包含小數與負數。
如果不知道末項怎麼辦？ 若你知道的是公差 \(d\)，可以先用 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) 算出末項，再使用本計算機；或者直接套用等價的公式 \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\)。
n 可以是小數嗎？ 在真正的數列中，\(n\) 是正整數（代表項數）。計算機仍會照算術運算給出結果，但建議使用整數，結果才有意義。
