等差数列求和计算器（已知首项与末项）

项数 (n)	10
首项 (a₁)	1
末项 (aₙ)	19
平均项	10

这个计算器的用途

当你已经知道一个等差数列（也叫等差级数）的项数、首项和末项时，这个工具可以帮你算出整个数列的总和。不必再一项一项地手动相加，只要填入这三个数字，结果立刻就能算出来。

数轴显示从a1到an的等差数列各项，间距相等为d — 等差数列中，从首项a1到末项an，相邻两项之间的差是恒定的。

使用方法

输入项数 n、首项 a₁ 以及末项 aₙ，点击计算即可得到总和。结果表格还会显示平均项，也就是首项与末项的中点值——这能让你直观地理解公式为什么成立。

公式解析

求和公式如下：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

这个思路据说出自年少时的高斯（Carl Friedrich Gauss）：把首项与末项配成一对、第二项与倒数第二项配成一对，依此类推，每一对的和都相同，都等于（$a_1 + a_n$）。一共有 $n/2$ 对，于是总和就是 $n(a_1 + a_n)/2$。由于每一项之间的间隔都相等，所有项的平均值就等于首末两项的平均值，而总和正好等于这个平均值乘以项数。

两行倒序的柱子配成相等的列，每列之和为a1加an — 将数列与其倒序配对，可见每对之和都是(a1 + an)，从而得出Sn = n(a1 + an)/2。

实例演示

以数列 1, 3, 5, 7, …, 19 为例。这里 $n = 10$，$a_1 = 1$，$a_n = 19$。总和为：

$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}$$

把这十个奇数直接相加（$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$）同样得到 100，验证了公式的正确性。

定义与术语表

算术级数 / 等差数列: 算术数列的项之和 — 一个数字列表，其中每一项与前一项相差一个固定的量。数列本身（1、4、7、10、…）是级数；相加的总和（1 + 4 + 7 + 10）是和。
n — 项数: 被相加的项数。它必须是正整数；在 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ 中，它缩放了和。
a₁ — 首项: 数列的起始值，加法开始的项。
aₙ — 末项: 被包括在和中的最后一项（第 $n$ 项）。与 $a_1$ 一起，它设定了相加的值的范围。
d — 公差: 从一项移动到下一项时添加的常数量，$d = a_{k+1} - a_k$。可以从端点求得 $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$。正的 $d$ 给出递增数列；负的 $d$ 给出递减数列。
平均项: 所有项的平均值，等于 $\frac{a_1 + a_n}{2}$（也是 $\frac{S_n}{n}$）。因为项均匀分布，平均值就是第一项和最后一项的中点，这就是为什么 $S_n = n \times \text{(平均项)}$。