Calculadora de la Suma de una Serie Aritmética con el Primer y Último Término

Número de términos (n)	10
Primer término (a₁)	1
Último término (aₙ)	19
Término medio	10

Qué hace esta calculadora

Esta herramienta calcula la suma de una serie aritmética (también llamada progresión aritmética) cuando ya conoces cuántos términos tiene, el valor del primer término y el del último. En lugar de sumar uno por uno a mano, solo introduces tres datos y obtienes el total al instante.

Recta numérica que muestra los términos de una progresión aritmética desde a1 hasta an con espaciado igual d — Una progresión aritmética tiene una diferencia constante entre términos consecutivos, desde el primer término a1 hasta el último término an.

Cómo usarla

Introduce el número de términos n, el primer término a₁ y el último término aₙ. Pulsa calcular para ver la suma. La tabla de resultados también muestra el término medio, que no es más que el punto medio entre el primer y el último valor: una forma intuitiva de entender por qué funciona la fórmula.

La fórmula explicada

La suma se obtiene así:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

La idea, atribuida a un joven Carl Friedrich Gauss, consiste en emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente: cada pareja suma siempre el mismo valor $(a_1 + a_n)$. Como hay $n/2$ parejas de este tipo, el resultado es $n(a_1 + a_n)/2$. Dado que todos los términos están separados por la misma distancia, el promedio de todos ellos coincide con el promedio de los dos extremos, y la suma es ese promedio multiplicado por la cantidad de términos.

Dos filas de barras invertidas emparejadas en columnas iguales, cada una sumando a1 más an — Emparejar la serie con su inversa muestra que cada par suma (a1 + an), lo que da Sn = n(a1 + an)/2.

Ejemplo resuelto

Tomemos la serie 1, 3, 5, 7, ..., 19. Aquí $n = 10$, $a_1 = 1$ y $a_n = 19$. La suma es:

$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}.$$

Si sumas directamente los diez números impares (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) también obtienes 100, lo que confirma la fórmula.

Definiciones y glosario

Serie aritmética / progresión aritmética: La suma de los términos de una sucesión aritmética — una lista de números en la que cada término difiere del anterior en una cantidad fija. La sucesión en sí (1, 4, 7, 10, …) es la progresión; el total sumado (1 + 4 + 7 + 10) es la serie.
n — número de términos: Cuántos términos se están sumando. Debe ser un número entero positivo; en $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$, escala la suma.
a₁ — primer término: El valor inicial de la sucesión, el término por el que comienza la suma.
aₙ — último término: El término final incluido en la suma (el término $n$ésimo). Junto con $a_1$, establece el rango de valores sumados.
d — diferencia común: La cantidad constante que se suma para pasar de un término al siguiente, $d = a_{k+1} - a_k$. Se puede encontrar a partir de los extremos como $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$. Una $d$ positiva da una sucesión creciente; una $d$ negativa da una decreciente.
Término promedio: La media de todos los términos, igual a $\frac{a_1 + a_n}{2}$ (también $\frac{S_n}{n}$). Debido a que los términos están espaciados uniformemente, el promedio es simplemente el punto medio del primer y último término, por lo que $S_n = n \times \text{(término promedio)}$.

Preguntas frecuentes

¿Los términos tienen que ser números enteros? No. La fórmula sirve para cualquier sucesión aritmética, incluidos decimales y números negativos, siempre que la distancia entre términos consecutivos sea constante.

¿Y si no conozco el último término? Si en su lugar conoces la diferencia común $d$, calcula primero $a_n = a_1 + (n - 1)d$ y luego usa esta calculadora, o aplica la forma equivalente $S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$.

¿Puede n ser un número decimal? En una sucesión real, $n$ es un número entero positivo (la cantidad de términos). La calculadora hará igualmente la operación, pero usa un número entero para obtener resultados con sentido.