この計算機でできること
この計算機は、項数・初項・末項がすでにわかっている等差数列（等差級数）の和を求めるツールです。すべての項を一つひとつ足し合わせる必要はありません。3つの数値を入力するだけで、合計が瞬時に表示されます。
使い方
項数 n、初項 a₁、末項 aₙ を入力し、「計算」ボタンを押すだけで和が表示されます。結果の表には「平均項」も表示されます。これは初項と末項のちょうど中間の値で、なぜこの公式が成り立つのかを直感的に理解する手がかりになります。
公式の解説
和は次の式で求められます。
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
この考え方は、少年時代のカール・フリードリヒ・ガウスにまつわる逸話で知られています。初項と末項、2番目と末尾から2番目……というように両端から順にペアを作ると、どのペアの和も同じ値（\(a_1 + a_n\)）になります。こうしたペアは \(n/2\) 組できるため、合計は \(n(a_1 + a_n)/2\) となります。各項が等間隔に並んでいるため、すべての項の平均は両端の値の平均と等しくなり、和はその平均に項数を掛けたものになるのです。
計算例
数列 1, 3, 5, 7, …, 19 を考えてみましょう。ここでは \(n = 10\)、\(a_1 = 1\)、\(a_n = 19\) です。和は次のようになります。
$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}$$
10個の奇数をそのまま足し合わせても（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）100になり、公式が正しいことが確認できます。
定義と用語集
- 等差級数 / 等差数列
- 等差数列の項の合計 — 隣接する項が一定の量だけ異なる数のリスト。数列そのもの（1、4、7、10、…）は等差数列であり、合計（1 + 4 + 7 + 10）は級数です。
- n — 項の個数
- 足し合わせられる項の個数。正の整数である必要があります。\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)において、合計をスケーリングします。
- a₁ — 最初の項
- 数列の開始値、足し算が始まる項。
- aₙ — 最後の項
- 合計に含まれる最終項（\(n\)番目の項）。\(a_1\)と共に、足し合わせられる値の範囲を設定します。
- d — 公差
- ある項から次の項に移動するために加算される定数、\(d = a_{k+1} - a_k\)。端点から\(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\)として求めることができます。正の\(d\)は増加数列を与え、負の\(d\)は減少数列を与えます。
- 平均項
- すべての項の平均値。\(\frac{a_1 + a_n}{2}\)に等しい（また\(\frac{S_n}{n}\)にも等しい）。項が均等な間隔で配置されているため、平均は最初と最後の項の中点であり、これが\(S_n = n \times \text{（平均項）}\)である理由です。
よくある質問
各項は整数でなければいけませんか？ いいえ。隣り合う項の間隔（公差）が一定でありさえすれば、小数や負の数を含むどんな等差数列でもこの公式が使えます。
末項がわからない場合は？ 公差 \(d\) がわかっているなら、まず \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) で末項を求めてからこの計算機に入力してください。あるいは、同じ意味を持つ式 \(S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]\) を使うこともできます。
n は小数でもよいですか？ 本来の数列では \(n\) は項の個数を表す正の整数です。この計算機は小数を入れても計算自体は行いますが、意味のある結果を得るには整数を使ってください。
