Сумма арифметической прогрессии по первому и последнему члену

Число членов (n)	10
Первый член (a₁)	1
Последний член (aₙ)	19
Средний член	10

Что считает этот калькулятор

Инструмент находит сумму арифметической прогрессии, если вам уже известно, сколько в ней членов, чему равен первый член и чему равен последний. Вместо того чтобы складывать все числа вручную, достаточно ввести три значения — и сумма появится мгновенно.

Числовая прямая с членами арифметической прогрессии от a1 до an с равным шагом d — У арифметической прогрессии постоянная разность между соседними членами — от первого члена a1 до последнего an.

Как пользоваться

Введите число членов n, первый член a₁ и последний член aₙ. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть сумму. В таблице результатов также показан средний член — это просто середина между первым и последним значениями, что наглядно объясняет, почему формула вообще работает.

Разбор формулы

Сумма вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Идея, которую приписывают юному Карлу Фридриху Гауссу, заключается в следующем: если объединить в пары первый и последний члены, второй и предпоследний и так далее, то сумма каждой пары будет одинаковой и равной $(a_1 + a_n)$. Всего таких пар $n/2$, отсюда и получается $n(a_1 + a_n)/2$. Поскольку члены идут с одинаковым шагом, среднее всех членов совпадает со средним только крайних значений, а сумма равна этому среднему, умноженному на количество членов.

Два развёрнутых ряда столбиков, объединённых в равные столбцы, каждый равен a1 плюс an — Сложение ряда с его обращением показывает, что сумма каждой пары равна (a1 + an), откуда Sn = n(a1 + an)/2.

Пример с решением

Возьмём ряд 1, 3, 5, 7, ..., 19. Здесь $n = 10$, $a_1 = 1$ и $a_n = 19$. Сумма равна:

$$S = \frac{10 \times (1 + 19)}{2} = \frac{10 \times 20}{2} = 10 \times 10 = \mathbf{100}.$$

Если сложить все десять нечётных чисел напрямую (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19), снова получится 100 — формула подтверждается.

Частые вопросы

Обязательно ли члены должны быть целыми? Нет. Формула работает для любой арифметической прогрессии, включая дробные и отрицательные числа, — главное, чтобы шаг между соседними членами был постоянным.

Что делать, если последний член неизвестен? Если вы знаете разность прогрессии $d$, сначала вычислите $a_n = a_1 + (n - 1)d$, а затем используйте этот калькулятор. Можно также воспользоваться эквивалентной формулой $S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$.

Может ли n быть дробным? В настоящей прогрессии $n$ — это положительное целое число (количество членов). Калькулятор всё равно выполнит арифметику, но для осмысленного результата используйте целое значение.

Определения и глоссарий

Арифметический ряд / арифметическая прогрессия: Сумма членов арифметической последовательности — списка чисел, в котором каждый член отличается от предыдущего на фиксированную величину. Сама последовательность (1, 4, 7, 10, …) — это прогрессия; добавленный итог (1 + 4 + 7 + 10) — это ряд.
n — количество членов: Сколько членов складывается вместе. Это должно быть положительное целое число; в $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ оно масштабирует сумму.
a₁ — первый член: Начальное значение последовательности, член, с которого начинается сложение.
aₙ — последний член: Последний включаемый в сумму член ($n$-й член). Вместе с $a_1$ он определяет диапазон складываемых значений.
d — общая разность: Постоянная величина, добавляемая при переходе от одного члена к следующему, $d = a_{k+1} - a_k$. Она может быть найдена по концам как $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$. Положительная $d$ дает возрастающую последовательность; отрицательная $d$ — убывающую.
Средний член: Среднее значение всех членов, равное $\frac{a_1 + a_n}{2}$ (также $\frac{S_n}{n}$). Поскольку члены равномерно распределены, среднее значение — это просто середина первого и последнего членов, поэтому $S_n = n \times \text{(средний член)}$.