Ce que fait ce calculateur
Cet outil estime combien de tirages gacha, de capsules (gashapon), de cartes à collectionner ou de pochettes d'autocollants vous devriez ouvrir en moyenne avant d'avoir réuni au moins un exemplaire de chaque objet d'une série complète. Il s'agit du célèbre « problème du collectionneur de coupons », issu de la théorie des probabilités. Le résultat est une moyenne calculée sur un grand nombre de tentatives : une partie isolée peut être plus chanceuse ou plus malchanceuse. C'est un calcul universel, valable quel que soit le pays ou la plateforme.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre total de types d'objets distincts de la série que vous souhaitez compléter (par exemple une gamme de 6 capsules ou une série de 66 cartes), puis lisez le nombre de tirages attendu. Le calculateur part du principe que chaque objet a exactement la même probabilité d'apparaître à chaque tirage.
La formule expliquée
S'il existe n types d'objets équiprobables, le nombre moyen de tirages pour compléter la série est
$$E(n) = n \times H(n)$$où \(H(n)\) désigne le n-ième nombre harmonique :
$$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$L'intuition est la suivante : une fois que vous possédez déjà \(i-1\) objets distincts, la probabilité que le prochain tirage soit une nouveauté vaut \((n-(i-1))/n\). Il faut donc en moyenne \(n/(n-(i-1))\) tirages pour décrocher le i-ème nouvel objet. En additionnant ces valeurs de \(i=1\) à \(n\), on obtient n fois la somme des \(1/k\).
Exemple concret
Pour une série de 6 objets :
$$H(6) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 2{,}45$$d'où \(E = 6 \times 2{,}45 = \mathbf{14{,}7 \text{ tirages}}\). Le premier objet est garanti dès le premier tirage, mais le dernier objet, le plus difficile à obtenir, demande à lui seul environ 6 tirages en moyenne.
FAQ
Cela fonctionne-t-il avec des paliers de rareté ou des taux de drop inégaux ? Non. La formule suppose que chaque objet a la même probabilité d'apparaître. Si votre gacha comporte des objets rares et courants aux taux différents, il faut recourir au modèle plus général du collectionneur de coupons pondéré, qui donne un nombre plus élevé.
Le résultat est-il une garantie ? Non, il s'agit d'une moyenne sur le long terme. Vous pouvez terminer plus vite ou bien plus lentement : la distribution présente une longue traîne.
Comment estimer le coût ? Multipliez le nombre de tirages attendu par le prix d'un tirage pour obtenir un budget moyen.
