이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 가챠 뽑기, 캡슐토이(가챠폰), 트레이딩 카드, 스티커 팩 등에서 한 세트의 모든 아이템을 최소 한 개씩 모으기까지 평균적으로 몇 번을 뽑아야 하는지 추정해 줍니다. 확률론에서 유명한 '쿠폰 수집가 문제(Coupon Collector's Problem)'를 바탕으로 합니다. 결과는 수많은 시도를 평균낸 기댓값이므로, 단 한 번의 플레이에서는 운이 더 좋을 수도, 더 나쁠 수도 있습니다. 이는 나라나 플랫폼과 무관하게 적용되는 보편적인 수학입니다.
사용 방법
완성하고 싶은 세트에 들어 있는 서로 다른 아이템 종류의 총 개수를 입력하세요(예: 6종 캡슐 라인업, 66종 카드 시리즈 등). 그러면 기대 뽑기 횟수가 바로 표시됩니다. 이 계산기는 매번 뽑을 때 모든 아이템이 동일한 확률로 나온다고 가정합니다.
공식 설명
동일한 확률을 가진 아이템 종류가 n개일 때, 세트를 완성하는 데 필요한 기대 뽑기 횟수는 다음과 같습니다.
$$E(\text{draws}) = n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$이는 \(E(n) = n \times H(n)\) 으로도 쓸 수 있으며, 여기서 \(H(n)\)은 \(n\)번째 조화수(harmonic number)로, \(H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\) 입니다. 직관적으로 보면, 이미 서로 다른 아이템을 \(i-1\)개 가지고 있을 때 다음 뽑기에서 새로운 것이 나올 확률은 \(\frac{n-(i-1)}{n}\) 이므로, \(i\)번째 새 아이템을 얻기까지 평균 \(\frac{n}{n-(i-1)}\)번 뽑아야 합니다. 이 값을 \(i=1\)부터 \(n\)까지 모두 더하면 \(n\)에 \(\frac{1}{k}\) 합을 곱한 값이 됩니다.
예시 계산
6종 세트의 경우:
$$H(6) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 2.45$$이므로,
$$E = 6 \times 2.45 = \mathbf{14.7}\text{회}$$첫 아이템은 1번 뽑으면 무조건 얻지만, 가장 모으기 어려운 마지막 아이템 하나만으로 평균 약 6번이 걸립니다.
자주 묻는 질문
등급(레어도)이나 확률이 다른 경우에도 적용되나요? 아니요. 이 공식은 모든 아이템이 동일한 확률로 나온다고 가정합니다. 레어와 노멀처럼 출현 확률이 다른 가챠라면, 더 큰 값을 산출하는 일반화된 가중 쿠폰 수집가 모델이 필요합니다.
이 결과가 보장값인가요? 아니요, 장기적인 평균값입니다. 더 빨리 끝낼 수도 있고 훨씬 더 오래 걸릴 수도 있으며, 분포에는 긴 꼬리(long tail)가 있습니다.
비용은 어떻게 예상하나요? 기대 뽑기 횟수에 1회당 가격을 곱하면 예상 예산을 구할 수 있습니다.
