Qu'est-ce qu'un triangle AAS ?
Un triangle AAS (angle-angle-côté) est un triangle dont on connaît deux angles ainsi que la longueur d'un côté qui ne se trouve pas entre ces deux angles. Comme la somme des trois angles intérieurs d'un triangle vaut toujours 180°, connaître deux angles suffit pour en déduire immédiatement le troisième. À partir de là, la loi des sinus permet de retrouver tous les côtés restants : le triangle est donc entièrement déterminé.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'angle A et l'angle B en degrés, ainsi que la longueur du côté b — le côté opposé à l'angle B. Le calculateur vous renvoie le troisième angle C, les deux côtés inconnus a et c, le périmètre et l'aire. Veillez à ce que la somme de vos deux angles soit inférieure à 180°, faute de quoi aucun triangle valide n'existe.
La formule expliquée
On commence par déterminer l'angle manquant :
$$C = 180^\circ - A - B$$On applique ensuite la loi des sinus, selon laquelle le rapport entre chaque côté et le sinus de l'angle qui lui est opposé est identique pour les trois côtés :
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$En réarrangeant, on obtient
$$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}, \quad c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$L'aire se calcule avec la formule \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C\).
Exemple résolu
Supposons A = 40°, B = 60° et le côté b = 10. Alors
$$C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ$$Avec la loi des sinus,
$$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 7{,}422$$$$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{0{,}8660} \approx 11{,}372$$Le périmètre vaut environ 28,79 et l'aire est égale à \(\tfrac{1}{2}\cdot 7{,}422\cdot 10\cdot \sin 80^\circ \approx 36{,}55\).
Termes clés et variables
- AAS (Angle-Angle-Côté)
- Un cas de triangle où deux angles et un côté non compris (un côté qui n'est pas entre les deux angles donnés) sont connus. AAS détermine toujours un triangle unique.
- ASA (Angle-Côté-Angle)
- Un cas apparenté où le côté connu est entre les deux angles connus. ASA et AAS utilisent la même loi des sinus mais diffèrent par le côté fourni.
- Angle A, B, C
- Les trois angles intérieurs du triangle. Ils somment toujours à \(180^\circ\), c'est pourquoi \(C = 180^\circ - A - B\).
- Côté a, b, c
- Les longueurs des côtés, chacune étiquetée pour correspondre à l'angle opposé : le côté \(a\) est opposé à l'angle \(A\), le côté \(b\) opposé à \(B\), et le côté \(c\) opposé à \(C\). Cet appairage est ce qui rend la loi des sinus fonctionnelle.
- Angle de sommet par rapport au côté
- Un angle de sommet est l'angle formé à un coin où deux côtés se rencontrent ; un côté est le segment droit joignant deux sommets. En AAS vous êtes donné deux angles de sommet et un côté.
- Loi des sinus
- La relation \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). Elle vous permet de trouver un côté inconnu à partir d'un côté connu et des angles opposés aux deux.
- Côté compris par rapport à côté non compris
- Un côté compris se situe entre deux angles donnés (comme en ASA) ; un côté non compris ne se situe pas (comme en AAS, où le côté donné est opposé à l'un des angles).
- Périmètre
- La distance totale autour du triangle, \(P = a + b + c\).
- Aire
- La région enfermée par le triangle. Avec deux côtés et leur angle compris, c'est \(\text{Aire} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\) ; toute paire de côtés et l'angle entre eux donne la même valeur.
FAQ
Quelle est la différence entre AAS et ASA ? Dans le cas ASA, le côté connu se situe entre les deux angles connus ; dans le cas AAS, le côté connu est opposé à l'un d'eux. Les deux configurations admettent une solution unique grâce à la loi des sinus.
Pourquoi la somme des angles doit-elle être inférieure à 180° ? Les trois angles d'un triangle doivent totaliser exactement 180°. Si deux angles atteignent déjà 180° ou plus, il ne reste aucune place pour un troisième angle positif.
Puis-je saisir le côté dans n'importe quelle unité ? Oui. Les côtés calculés sont exprimés dans l'unité que vous utilisez pour le côté b ; l'aire est donnée dans cette unité au carré.
