Qu'est-ce qu'un quadrilatère inscriptible ?
Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les quatre sommets se situent sur un même cercle. Parmi tous les quadrilatères qui partagent les mêmes longueurs de côtés, c'est celui qui enferme l'aire la plus grande possible. Ce calculateur s'appuie sur la formule de Brahmagupta pour vous donner cette aire ainsi que le périmètre, à partir des quatre longueurs de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre longueurs de côtés dans une seule et même unité de longueur (les quatre valeurs doivent partager la même unité). Cliquez sur Calculer. L'aire est exprimée dans cette unité au carré et le périmètre dans l'unité d'origine. Si les longueurs ne peuvent pas former un véritable quadrilatère, l'outil indique qu'aucune figure de ce type n'existe.
La formule expliquée
On calcule d'abord le demi-périmètre $$s = \frac{a + b + c + d}{2}.$$ L'aire vaut ensuite $$S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}.$$ Le périmètre se résume à \(L = a + b + c + d\). Pour que la figure existe, chaque côté doit être strictement positif et plus court que la somme des trois autres : cette condition garantit que chaque facteur sous la racine carrée reste positif ou nul.
Exemple résolu
Pour \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\) et \(d = 13\) : $$s = \frac{43}{2} = 21{,}5.$$ Les facteurs sont \(8{,}5\), \(7{,}5\), \(18{,}5\) et \(8{,}5\), dont le produit donne \(10\,024{,}6875\). L'aire est égale à \(\sqrt{10\,024{,}6875}\), soit environ \(100{,}12\), et le périmètre vaut \(43\).
Questions fréquentes
Fonctionne-t-elle pour n'importe quel quadrilatère ? La formule de Brahmagupta n'est exacte que pour les quadrilatères inscriptibles ; pour les autres quadrilatères, elle fournit l'aire maximale que l'on peut atteindre avec ces côtés.
Et si un côté est égal à la somme des trois autres ? La figure est dégénérée (aplatie) et son aire est nulle.
Quelles unités sont utilisées ? Celle de votre choix, du moment qu'elle reste la même partout ; l'aire est alors exprimée dans cette unité au carré.
