Qu'est-ce que la formule de Bretschneider ?
La formule de Bretschneider donne l'aire de n'importe quel quadrilatère simple — convexe ou non, inscriptible ou non — à partir de la longueur de ses quatre côtés et de la somme d'une paire d'angles intérieurs opposés. Elle généralise à la fois la formule de Brahmagupta (réservée aux quadrilatères inscriptibles) et la formule de Héron (valable pour les triangles). Ce calculateur fournit à la fois l'aire S et le périmètre L dans l'unité linéaire de votre choix (m, cm, po, etc.) ; l'aire est exprimée dans cette unité au carré.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre longueurs de côté \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) en suivant l'ordre des sommets du quadrilatère. Indiquez ensuite la somme d'une paire d'angles intérieurs opposés, exprimée en degrés : il s'agit des deux angles aux sommets qui ne sont pas adjacents l'un à l'autre (l'angle entre les côtés \(a\) et \(b\), additionné à l'angle entre les côtés \(c\) et \(d\)). Si le quadrilatère est inscriptible, ses angles opposés sont supplémentaires : leur somme vaut alors 180 degrés et la formule se ramène à celle de Brahmagupta.
La formule expliquée
Posons \(s = \frac{a + b + c + d}{2}\), le demi-périmètre, et \(\theta\) la somme de la paire d'angles opposés. L'aire est alors la racine carrée de \((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\) moins \(abcd\cdot\cos^{2}(\theta/2)\) :
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$L'angle est converti en radians (\(\times\,\pi/180\)) avant le calcul du cosinus, et c'est le demi-angle \(\theta/2\) qui intervient dans le cosinus au carré. Lorsque \(\theta = 180\) degrés, \(\cos(90\) degrés\() = 0\) et le terme correctif disparaît.
Exemple résolu
Prenons \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\) et \(\theta = 180\) degrés. Le demi-périmètre vaut \(s = 43/2 = 21{,}5\), ce qui donne \(s-a = 8{,}5\), \(s-b = 7{,}5\), \(s-c = 18{,}5\) et \(s-d = 8{,}5\). Leur produit est égal à \(10\,024{,}6875\). Comme \(\cos(90\) degrés\() = 0\), le terme correctif est nul ; on obtient donc $$S = \sqrt{10\,024{,}6875} \approx 100{,}123 \text{ unités d'aire},$$ et le périmètre \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) unités.
Questions fréquentes
Pourquoi le message « quadrilatère invalide » s'affiche-t-il ? Chaque côté doit être positif et plus court que la somme des trois autres ; faute de quoi la figure ne peut pas se refermer. Le message apparaît aussi lorsque le radicande devient négatif, ce qui signifie que les longueurs des côtés et l'angle sont incompatibles entre eux.
Faut-il utiliser une unité particulière pour les côtés ? Non. Utilisez une seule et même unité linéaire de façon cohérente ; l'aire s'exprime alors dans cette unité au carré et le périmètre dans cette unité.
Et si je ne connais que les diagonales ? Ce calculateur a besoin des côtés et de la somme des angles opposés. Pour un quadrilatère inscriptible, il suffit de prendre \(\theta = 180\) afin d'appliquer la formule de Brahmagupta.
