ما هو قانون بريتشنايدر؟
يُمكّنك قانون بريتشنايدر من حساب مساحة أي شكل رباعي بسيط — سواء كان محدّبًا أم لا، دائريًا (تمر رؤوسه على دائرة) أم لا — انطلاقًا من أطوال أضلاعه الأربعة ومجموع زاويتين داخليتين متقابلتين. وهو تعميم لقانون براهماغوبتا (الخاص بالأشكال الرباعية الدائرية) ولقانون هيرون (الخاص بالمثلثات). تُعيد هذه الحاسبة كلًّا من المساحة \(S\) والمحيط \(L\) باستخدام وحدة طول واحدة تختارها أنت (متر، سنتيمتر، إنش، إلخ)، وتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة.
كيفية الاستخدام
أدخل أطوال الأضلاع الأربعة \(a\) و\(b\) و\(c\) و\(d\) بالترتيب حول الشكل الرباعي. ثم أدخل مجموع زاويتين داخليتين متقابلتين بالدرجات — وهما زاويتا الرأسين غير المتجاورين (الزاوية المحصورة بين الضلعين \(a\) و\(b\)، إضافة إلى الزاوية المحصورة بين الضلعين \(c\) و\(d\)). إذا كان الشكل الرباعي دائريًا، فإن الزاويتين المتقابلتين متكاملتان، أي أن مجموعهما 180 درجة، وعندها يتلخّص القانون إلى قانون براهماغوبتا.
شرح القانون
لنفترض أن \(s = (a + b + c + d) / 2\) هو نصف المحيط، وأن \(\theta\) هو مجموع الزاويتين المتقابلتين. عندئذٍ تساوي المساحة الجذرَ التربيعي للمقدار \((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\) مطروحًا منه \(abcd\cdot\cos^{2}(\theta/2)\).
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$تُحوَّل الزاوية إلى الراديان (بالضرب في \(\pi/180\)) قبل حساب جيب التمام، ويُستخدم نصف الزاوية \(\theta/2\) داخل مربّع جيب التمام. وعندما تكون \(\theta = 180\) درجة، فإن \(\cos(90^\circ) = 0\) ويختفي حدّ التصحيح.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 13\) و\(b = 14\) و\(c = 3\) و\(d = 13\) و\(\theta = 180\) درجة. يكون نصف المحيط \(s = 43/2 = 21.5\)، ومن ثَمّ \(s-a = 8.5\) و\(s-b = 7.5\) و\(s-c = 18.5\) و\(s-d = 8.5\). وحاصل ضربها يساوي 10024.6875. وبما أن \(\cos(90^\circ) = 0\)، فإن حدّ التصحيح معدوم، إذن \(S = \sqrt{10024.6875} \approx 100.123\) وحدة مربّعة، والمحيط \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) وحدة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر لي رسالة «شكل رباعي غير صالح»؟ يجب أن يكون كل ضلع موجبًا وأقصر من مجموع الأضلاع الثلاثة الأخرى، وإلا تعذّر انغلاق الشكل. كما تظهر الرسالة عندما يصبح المقدار تحت الجذر سالبًا، ما يعني أن أطوال الأضلاع والزاوية غير متوافقة.
هل يجب أن تكون الأضلاع بوحدة محددة؟ لا. استخدم أي وحدة طول واحدة باتساق؛ فتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة، ويظهر المحيط بالوحدة نفسها.
ماذا لو كنت أعرف القطرين فقط؟ تحتاج هذه الحاسبة إلى الأضلاع ومجموع الزاويتين المتقابلتين. أما في حالة الشكل الرباعي الدائري، فيكفيك استخدام \(\theta = 180\) لتطبيق قانون براهماغوبتا.
