ブレートシュナイダーの公式とは
ブレートシュナイダーの公式は、凸・凹を問わず、また円に内接するかどうかにかかわらず、任意の単純な四角形の面積を、4辺の長さと向かい合う1組の内角の和から求める公式です。円に内接する四角形に対するブラーマグプタの公式や、三角形に対するヘロンの公式を一般化したものといえます。この計算では、面積 \(S\) と周囲の長さ \(L\) の両方を求めます。長さの単位は任意（m、cm、in など）に選べ、面積はその単位の2乗で表されます。
使い方
四角形の周に沿って順に、4辺の長さ \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) を入力します。次に、向かい合う1組の内角の和を「度」で入力します。これは互いに隣り合わない2つの頂点の角、すなわち辺 \(a\) と辺 \(b\) の間の角と、辺 \(c\) と辺 \(d\) の間の角の和です。四角形が円に内接する場合、向かい合う角は互いに補角となり和は180度になるため、公式はブラーマグプタの公式に一致します。
公式の解説
半周長を \(s = (a + b + c + d) / 2\)、向かい合う角の和を \(\theta\) とします。このとき面積は、\((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\) から \(abcd\cdot\cos^{2}(\theta/2)\) を引いた値の平方根になります。 $$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$ コサインを計算する前に角度はラジアンに変換され（\(\times\pi/180\)）、2乗するコサインの内側には半角 \(\theta/2\) を用います。\(\theta = 180\) 度のとき \(\cos(90^\circ) = 0\) となり、補正項は消えます。
計算例
\(a = 13\)、\(b = 14\)、\(c = 3\)、\(d = 13\)、\(\theta = 180\) 度とします。半周長は \(s = 43/2 = 21.5\) で、\(s-a = 8.5\)、\(s-b = 7.5\)、\(s-c = 18.5\)、\(s-d = 8.5\) となります。これらの積は \(10024.6875\) です。\(\cos(90^\circ) = 0\) のため補正項はゼロとなり、 $$S = \sqrt{10024.6875} \approx 100.123$$ （単位の2乗）、周囲の長さは \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\)（単位）となります。
よくある質問
「四角形が成立しません」と表示されるのはなぜですか？ 各辺は正の値で、かつ他の3辺の和よりも短くなければなりません。そうでないと図形が閉じないためです。また、ルートの中身（被開平数）が負になった場合にもこのメッセージが表示されます。これは辺の長さと角度が互いに矛盾していることを意味します。
辺の長さに特定の単位は必要ですか？ いいえ。長さの単位は1つに統一すれば任意で構いません。面積はその単位の2乗、周囲の長さはその単位で求められます。
対角線しか分からない場合はどうすればよいですか？ この計算では辺の長さと向かい合う角の和が必要です。円に内接する四角形であれば、\(\theta = 180\) を入力するだけでブラーマグプタの公式を適用できます。
