Что такое формула Бретшнайдера?
Формула Бретшнайдера позволяет найти площадь любого простого четырёхугольника — выпуклого или невыпуклого, вписанного в окружность или нет — по длинам его четырёх сторон и сумме одной пары противоположных внутренних углов. Она обобщает формулу Брахмагупты (для вписанных четырёхугольников) и формулу Герона (для треугольников). Калькулятор выдаёт сразу и площадь \(S\), и периметр \(L\) в выбранной вами произвольной линейной единице (м, см, дюймы и т. д.); площадь при этом указывается в квадрате этой единицы.
Как пользоваться калькулятором
Введите длины четырёх сторон \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) по порядку, обходя четырёхугольник. Затем укажите сумму одной пары противоположных внутренних углов в градусах — это два угла при вершинах, которые не соседствуют друг с другом (угол между сторонами \(a\) и \(b\) плюс угол между сторонами \(c\) и \(d\)). Если четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы дополняют друг друга до 180 градусов, поэтому их сумма равна 180°, и формула Бретшнайдера превращается в формулу Брахмагупты.
Разбор формулы
Пусть \(s = \dfrac{a + b + c + d}{2}\) — полупериметр, а \(\theta\) — сумма пары противоположных углов. Тогда площадь равна $$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$ Перед вычислением косинуса угол переводится в радианы (умножается на \(\tfrac{\pi}{180}\)), а внутри квадрата косинуса используется половина угла — \(\tfrac{\theta}{2}\). Когда \(\theta = 180°\), \(\cos(90°) = 0\), и корректирующее слагаемое обращается в ноль.
Пример расчёта
Возьмём \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\), \(\theta = 180°\). Полупериметр равен $$s = \frac{43}{2} = 21{,}5$$ откуда \(s-a = 8{,}5\), \(s-b = 7{,}5\), \(s-c = 18{,}5\), \(s-d = 8{,}5\). Их произведение составляет \(10024{,}6875\). Поскольку \(\cos(90°) = 0\), корректирующее слагаемое равно нулю, поэтому $$S = \sqrt{10024{,}6875} \approx 100{,}123$$ квадратных единиц, а периметр $$L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43$$ единицы.
Частые вопросы
Почему появляется сообщение «недопустимый четырёхугольник»? Каждая сторона должна быть положительной и меньше суммы трёх остальных — иначе фигура не замкнётся. Это же сообщение возникает, когда подкоренное выражение становится отрицательным: значит, длины сторон и угол несовместимы между собой.
Нужны ли стороны в каких-то конкретных единицах? Нет. Используйте любую одну линейную единицу, главное — последовательно: площадь получится в квадрате этой единицы, а периметр — в самой единице.
А что, если я знаю только диагонали? Этому калькулятору нужны стороны и сумма противоположных углов. Для вписанного четырёхугольника достаточно взять \(\theta = 180°\), чтобы применить формулу Брахмагупты.
