Что такое треугольник AAS?
Треугольник AAS (угол-угол-сторона) — это треугольник, в котором известны два угла и длина стороны, которая не лежит между этими углами. Поскольку сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°, по двум известным углам мгновенно находится третий. А дальше теорема синусов позволяет вычислить все оставшиеся стороны, так что треугольник определяется однозначно.
Как пользоваться калькулятором
Введите угол A и угол B в градусах, а также длину стороны b — стороны, лежащей напротив угла B. Калькулятор вычислит третий угол C, две неизвестные стороны a и c, периметр и площадь. Проследите, чтобы сумма двух заданных углов была меньше 180°, иначе такого треугольника просто не существует.
Разбор формулы
Сначала находим недостающий угол: $$C = 180^\circ - A - B$$ Затем применяем теорему синусов: отношение каждой стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трёх сторон: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ Из неё получаем $$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B} \quad\text{и}\quad c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$ Площадь вычисляется по формуле \(\tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C\).
Пример решения
Пусть \(A = 40^\circ\), \(B = 60^\circ\), а сторона \(b = 10\). Тогда \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\). По теореме синусов: $$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 7{,}422$$ $$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{0{,}8660} \approx 11{,}372$$ Периметр составит примерно \(28{,}79\), а площадь — $$\tfrac{1}{2}\cdot 7{,}422\cdot 10\cdot\sin 80^\circ \approx 36{,}55$$
Частые вопросы
Чем отличается AAS от ASA? В случае ASA известная сторона лежит между двумя известными углами, а в случае AAS — напротив одного из них. Оба варианта однозначно решаются с помощью теоремы синусов.
Почему сумма углов должна быть меньше 180°? Сумма всех трёх углов треугольника строго равна 180°, поэтому если два угла уже дают в сумме 180° или больше, для третьего положительного угла места не остаётся.
Можно ли вводить сторону в любых единицах? Да. Найденные стороны будут в тех же единицах, что и сторона b, а площадь — в этих единицах в квадрате.
Ключевые термины и переменные
- AAS (Angle-Angle-Side — два угла и сторона)
- Случай треугольника, когда известны два угла и неприлежащая сторона (сторона, которая не находится между двумя заданными углами). AAS всегда определяет единственный треугольник.
- ASA (Angle-Side-Angle — угол-сторона-угол)
- Связанный случай, когда известная сторона находится между двумя известными углами. ASA и AAS используют одинаковый закон синусов, но отличаются тем, какая сторона задана.
- Угол A, B, C
- Три внутренних угла треугольника. Они всегда суммируются в \(180^\circ\), поэтому \(C = 180^\circ - A - B\).
- Сторона a, b, c
- Длины сторон, каждая обозначена так, чтобы соответствовать противоположному углу: сторона \(a\) находится напротив угла \(A\), сторона \(b\) напротив \(B\), и сторона \(c\) напротив \(C\). Это соответствие — то, что делает закон синусов работающим.
- Угол при вершине против стороны
- Угол при вершине — это угол, образованный в углу, где сходятся две стороны; сторона — это прямой отрезок, соединяющий две вершины. В AAS вам даны два угла при вершинах и одна сторона.
- Закон синусов
- Соотношение \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). Оно позволяет вам найти неизвестную сторону, зная сторону и углы, противоположные обеим.
- Прилежащая против неприлежащей стороны
- Прилежащая сторона лежит между двумя заданными углами (как в ASA); неприлежащая сторона не лежит (как в AAS, где заданная сторона находится напротив одного из углов).
- Периметр
- Общее расстояние вокруг треугольника, \(P = a + b + c\).
- Площадь
- Область, ограниченная треугольником. С двумя сторонами и углом между ними это \(\text{Площадь} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\); любая пара сторон и угол между ними дают одно и то же значение.
