Qu'est-ce qu'un segment parabolique ?
Un segment parabolique, aussi appelé arche parabolique, est la région plane délimitée par une parabole et la corde rectiligne qui la traverse. Imaginez une parabole ouverte vers le bas, son sommet pointant vers le haut : la corde est le segment de droite reliant les deux points où la parabole la rencontre. La figure est symétrique par rapport à l'axe passant par le sommet. On la retrouve sans cesse en ingénierie et en architecture — ponts en arc, profils de câbles suspendus, paraboles réflectrices et arches architecturales suivent tous des courbes paraboliques.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez simplement deux mesures, exprimées dans une même unité de longueur (millimètres, centimètres, mètres, pouces ou pieds — l'essentiel est de conserver la même unité) :
Hauteur a — la distance perpendiculaire entre la corde et le sommet (apex) de la parabole.
Longueur de la corde b — la distance en ligne droite entre les deux extrémités situées sur la corde.
Le calculateur renvoie l'aire S délimitée (dans votre unité de longueur au carré), la longueur d'arc L de la seule frontière courbe, ainsi que le périmètre complet \(L + b\) (courbe plus corde).
Les formules expliquées
L'aire découle du célèbre résultat d'Archimède selon lequel un segment parabolique occupe exactement les deux tiers du rectangle qui l'encadre :
$$S = \frac{2}{3}\cdot a\cdot b$$La longueur d'arc s'obtient en intégrant la courbe de la parabole. Posons la valeur intermédiaire \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\) ; on a alors
$$L = \frac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot\ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$où \(\ln\) désigne le logarithme népérien. Le terme \(4a\) traduit le fait que la pente de la parabole à chaque extrémité vaut \(4a/b\).
Exemple détaillé
Prenons \(a = 2\) et \(b = 1\). Aire :
$$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1{,}33333$$Pour la longueur d'arc, \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8{,}06226\). Ensuite \(\frac{1}{2}\cdot s = 4{,}03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\), et \(\frac{4a + s}{b} = 16{,}06226\) avec \(\ln = 2{,}77636\), ce qui donne un second terme de \(0{,}17352\). Donc
$$L = 4{,}03113 + 0{,}17352 = 4{,}20465$$FAQ
L inclut-elle la corde rectiligne ? Non — L correspond uniquement à la longueur de la courbe parabolique. Le périmètre complet du segment vaut \(L + b\), également affiché.
Que se passe-t-il si la hauteur est nulle ? Le segment dégénère en une simple droite : l'aire vaut 0 et la longueur d'arc se réduit à la longueur de la corde b.
Quelles unités utiliser ? N'importe quelle unité de longueur unique. L'aire s'exprime dans cette unité au carré et les longueurs dans cette même unité ; les formules s'appliquent donc directement aux valeurs saisies.
