मूलों की प्रकृति कैलकुलेटर

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गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

परिणाम

Discriminant (D = b² - 4ac)

1

Two distinct real roots

वास्तविक मूल	2
सम्मिश्र मूल	0
मूल 1	3
मूल 2	2

मूलों की प्रकृति कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर \(ax^2 + bx + c = 0\) के रूप वाले किसी भी द्विघात समीकरण का विश्लेषण करता है और बताता है कि उसके हल (मूल) किस प्रकार के हैं। इसके लिए यह विविक्तकर (discriminant), यानी $$\Delta = b^2 - 4ac$$ की गणना करता है। यह एक अकेली संख्या ही तय कर देती है कि मूल वास्तविक हैं या सम्मिश्र — और इसके लिए आपको पूरा समीकरण हल करने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों गुणांक भरें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद)। कैलकुलेटर आपको विविक्तकर का मान, मूलों की प्रकृति का सरल भाषा में विवरण, और मूलों के वास्तविक मान — चाहे वे वास्तविक हों या सम्मिश्र संयुग्मी — दिखा देगा।

सूत्र की व्याख्या

विविक्तकर वही भाग है जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंदर आता है। चूँकि किसी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं निकाला जा सकता, इसलिए इसका चिह्न ही सब कुछ बता देता है:

\(\Delta > 0\): दो अलग-अलग वास्तविक मूल। \(\Delta = 0\): एक ही वास्तविक मूल जो दो बार आता है (परवलय x-अक्ष को बस छूता है)। \(\Delta < 0\): कोई वास्तविक मूल नहीं — बल्कि \(p \pm qi\) रूप के दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल।

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विविक्तकर का मान कैसे तय करता है कि परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है, एक बार छूता है या बिल्कुल नहीं।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^2 - 5x + 6 = 0\) के लिए \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) है। तब $$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ चूँकि \(\Delta > 0\) है, इसलिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं: \(x = \dfrac{5 \pm 1}{2}\), यानी \(x = 3\) और \(x = 2\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर \(a = 0\) हो तो क्या होगा? तब समीकरण द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक (linear) हो जाता है और विविक्तकर लागू नहीं होता — कैलकुलेटर इस स्थिति को पहचानकर सूचित कर देता है।

क्या विविक्तकर भिन्न या दशमलव हो सकता है? हाँ। कोई भी वास्तविक गुणांक स्वीकार्य हैं, इसलिए \(\Delta\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

सम्मिश्र संयुग्मी मूल क्या होते हैं? जब \(\Delta < 0\) होता है, तब दोनों मूलों का वास्तविक भाग समान होता है और काल्पनिक (imaginary) भाग विपरीत चिह्न का, जिन्हें \(p + qi\) और \(p - qi\) के रूप में लिखा जाता है।