यह कैलकुलेटर क्या करता है
मूलों से द्विघात समीकरण कैलकुलेटर सामान्य प्रक्रिया को उलट देता है: किसी द्विघात समीकरण को हल करके उसके मूल निकालने के बजाय, यह तब समीकरण बनाता है जब आपको दोनों मूल पहले से पता हों। पहला मूल \(r_1\), दूसरा मूल \(r_2\) और एक वैकल्पिक अग्रणी गुणांक \(a\) दर्ज करें, और यह टूल समीकरण को मानक रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) में प्रत्येक गुणांक के साथ लौटा देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने दोनों मूल \(r_1\) और \(r_2\) वाले खानों में लिखें। यदि आप केवल मोनिक समीकरण चाहते हैं (अग्रणी गुणांक 1), तो \(a\) को 1 ही रहने दें। यदि आप वक्र को स्केल करना चाहते हैं — उदाहरण के लिए किसी ज्ञात ऊर्ध्वाधर खिंचाव से मिलाने हेतु \(a = 2\) — तो वह मान दर्ज करें। 'गणना करें' दबाएँ और तैयार समीकरण के साथ अलग-अलग \(a\), \(b\) और \(c\) मान देखें।
सूत्र की व्याख्या
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(r_1\) और \(r_2\) हैं, तो उसे गुणनखंड रूप में \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\) लिखा जा सकता है। इसका विस्तार करने पर मिलता है
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$यही वियेटा का संबंध है: मूलों का योग \(-b/a\) के बराबर और गुणनफल \(c/a\) के बराबर होता है। इसलिए
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए मूल 2 और 3 हैं तथा \(a = 1\) है। इनका योग 5 और गुणनफल 6 है, अतः \(b = -1 \cdot 5 = -5\) और \(c = 1 \cdot 6 = 6\)। समीकरण होगा \(x^2 - 5x + 6 = 0\)। जाँच: गुणनखंड करने पर \((x - 2)(x - 3) = 0\) मिलता है, जिससे मूलों की पुष्टि होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या दोनों मूल समान हो सकते हैं? हाँ। यदि \(r_1 = r_2\) हो तो द्विघात समीकरण का एक दोहरा (पुनरावृत्त) मूल होता है और यह पूर्ण वर्ग रूप में आता है।
यदि मैं \(a = 0\) दर्ज करूँ तो क्या होगा? अग्रणी गुणांक शून्य होने पर वह द्विघात समीकरण नहीं रहेगा, इसलिए समीकरण को मान्य रखने के लिए कैलकुलेटर इसे 1 मान लेता है।
क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव मूल इस्तेमाल कर सकता हूँ? बिल्कुल — कोई भी वास्तविक संख्या चलेगी, जिनमें ऋणात्मक मान, दशमलव में दर्ज भिन्न और बड़ी संख्याएँ शामिल हैं।
