Ce que fait ce calculateur
Le calculateur d'équation du second degré à partir des racines inverse le problème habituel : au lieu de résoudre une équation pour en trouver les racines, il reconstitue l'équation lorsque vous connaissez déjà les deux racines. Saisissez la première racine \(r_1\), la seconde racine \(r_2\) et, si vous le souhaitez, un coefficient dominant \(a\) ; l'outil vous renvoie l'équation sous forme standard \(ax^2 + bx + c = 0\) ainsi que chaque coefficient.
Comment l'utiliser
Indiquez vos deux racines dans les champs \(r_1\) et \(r_2\). Si vous voulez simplement obtenir l'équation unitaire (coefficient dominant égal à 1), laissez \(a\) à 1. Si vous souhaitez mettre la courbe à l'échelle — par exemple \(a = 2\) pour reproduire un étirement vertical connu — saisissez cette valeur. Cliquez sur « Calculer » pour afficher l'équation reconstituée ainsi que les valeurs individuelles de \(a\), \(b\) et \(c\).
La formule expliquée
Si une équation du second degré admet les racines \(r_1\) et \(r_2\), elle peut s'écrire sous forme factorisée \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\). En développant, on obtient
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$C'est précisément la relation de Viète : la somme des racines vaut \(-b/a\) et leur produit vaut \(c/a\). On a donc
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple concret
Supposons que les racines soient 2 et 3 avec \(a = 1\). La somme vaut 5 et le produit vaut 6, donc \(b = -1 \cdot 5 = -5\) et \(c = 1 \cdot 6 = 6\). L'équation est \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Vérification : la factorisation donne \((x - 2)(x - 3) = 0\), ce qui confirme bien les racines.
Questions fréquentes
Les racines peuvent-elles être égales ? Oui. Si \(r_1 = r_2\), l'équation possède une racine double (multiple) et prend la forme d'un carré parfait.
Et si je saisis \(a = 0\) ? Un coefficient dominant nul ne donnerait pas une équation du second degré ; le calculateur le ramène donc à 1 pour garder une équation valide.
Puis-je utiliser des racines négatives ou décimales ? Absolument : tous les nombres réels conviennent, y compris les valeurs négatives, les fractions saisies sous forme décimale et les grandes valeurs.
