この計算機でできること
「2つの解から二次方程式を求める計算機」は、通常とは逆向きの問題を解きます。二次方程式を解いて解を求めるのではなく、すでに分かっている2つの解から、もとの二次方程式を組み立てます。1つ目の解 \(r_1\)、2つ目の解 \(r_2\)、そして必要に応じて最高次係数 \(a\) を入力すれば、標準形 \(ax^2+bx+c=0\) の方程式と、各係数の値が一度に得られます。
使い方
2つの解を \(r_1\) と \(r_2\) の欄に入力します。最高次係数が1のシンプルな方程式（モニック方程式）でよければ、\(a\) は1のままにしておきます。グラフを縦に拡大・縮小したい場合（たとえば既知の縦方向の伸びに合わせて \(a = 2\) とするなど）は、その値を入力してください。「計算」を押すと、組み立てられた方程式と、\(a\)・\(b\)・\(c\) それぞれの値が表示されます。
公式の解説
二次方程式が解 \(r_1\) と \(r_2\) を持つとき、因数分解した形 \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\) と書けます。これを展開すると $$a\,x^{2} - a\left(r_1 + r_2\right)x + a\left(r_1 \cdot r_2\right) = 0$$ となります。これはまさに「解と係数の関係（ヴィエタの定理）」そのもので、2つの解の和は \(-b/a\) に、積は \(c/a\) に等しくなります。したがって \(b = -a(r_1 + r_2)\)、\(c = a \cdot r_1 \cdot r_2\) となります。
計算例
解が 2 と 3 で、\(a = 1\) の場合を考えてみましょう。和は 5、積は 6 なので、\(b = -1 \cdot 5 = -5\)、\(c = 1 \cdot 6 = 6\) となります。よって方程式は $$x^{2} - 5x + 6 = 0$$ です。検算として因数分解すると \((x - 2)(x - 3) = 0\) となり、確かに解が 2 と 3 であることが確認できます。
よくある質問
2つの解が同じ値でもいいですか？ はい。\(r_1 = r_2\) のときは重解（二重解）を持つ二次方程式となり、完全平方の形になります。
a = 0 と入力したらどうなりますか？ 最高次係数が0だと二次方程式ではなくなってしまいます。そのため、この計算機では方程式が成り立つよう \(a\) を1として扱います。
負の数や小数の解は使えますか？ もちろんです。負の数、小数で入力した分数、大きな値など、あらゆる実数に対応しています。
