Что такое калькулятор половинного угла?
Этот инструмент вычисляет синус, косинус и тангенс половины заданного угла. Вы вводите угол θ в градусах, а калькулятор возвращает θ/2, а также \(\sin(\theta/2)\), \(\cos(\theta/2)\) и \(\tan(\theta/2)\). Формулы половинного угла играют ключевую роль в тригонометрии, интегрировании в математическом анализе и в физике — они позволяют выразить функции от θ/2 напрямую через θ.
Как пользоваться
Введите любой угол θ в градусах (допускаются десятичные дроби) и нажмите «Рассчитать». Калькулятор сначала делит угол пополам, а затем вычисляет три тригонометрические функции в точке θ/2. Знаки определяются автоматически по реальной четверти, в которой лежит θ/2, поэтому результат всегда верен — выбирать ± вручную не нужно.
Разбор формулы
Классические тождества выглядят так:
$$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\quad \cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},\quad \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$Формы с квадратным корнем несут в себе неоднозначность знака, поэтому наш калькулятор вместо этого вычисляет функции напрямую в точке половинного угла θ/2. Такой подход даёт значение с правильным знаком в любой четверти и при этом полностью совпадает с тождествами.
Пример с решением
Для \(\theta = 90\degree\): \(\theta/2 = 45\degree\). Значит, \(\sin(45\degree) \approx 0{,}707107\), \(\cos(45\degree) \approx 0{,}707107\), а \(\tan(45\degree) = 1\). Применяя тождество, получаем
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos 90\degree}{\sin 90\degree} = \frac{1-0}{1} = 1$$Здесь \(\theta/2 = 45\degree\), поэтому \(\tan(45\degree) = 1\) — всё сходится. (Обратите внимание: в распространённой проверке берут θ, при котором θ/2 даёт \(\tan = \sqrt{2}-1 \approx 0{,}41421\), а именно \(\theta = 45\degree\), поскольку \(\tan(22{,}5\degree) = \sqrt{2}-1\).)
Частые вопросы
Почему в ответе нет ±? Калькулятор вычисляет значение в реальной точке θ/2, поэтому возвращает единственное верное значение со знаком, а не два неоднозначных корня.
Что если tan(θ/2) не определён? Когда \(\theta/2 = 90\degree + k\cdot 180\degree\), косинус равен нулю, и тангенс не определён — в результате отобразится NaN.
Можно ли вводить углы больше 360°? Да — подойдёт любое вещественное значение в градусах, включая отрицательные.
