Qu'est-ce que la multiplication de matrices 2×2 ?

La multiplication matricielle combine deux matrices en une seule matrice produit. Pour deux matrices 2×2 A et B, le produit $C = A \cdot B$ est lui aussi une matrice 2×2. Chaque coefficient de C s'obtient en prenant une ligne de A et une colonne de B, en multipliant les éléments correspondants, puis en additionnant les résultats : c'est le produit scalaire « ligne par colonne ». Ce calculateur détermine les quatre coefficients de C à partir des huit nombres que vous saisissez.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les quatre coefficients de la matrice A (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂), puis les quatre coefficients de la matrice B dans le même ordre, ligne par ligne. Cliquez sur calculer : l'outil affiche la matrice produit C sous la forme d'une grille 2×2, accompagnée du détail de chaque coefficient. Les valeurs peuvent être positives, négatives ou décimales.

La formule expliquée

Pour des matrices 2×2, la règle est la suivante :

$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$
$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$
$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$
$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$

De façon générale, le coefficient $c_{ij}$ est la somme sur $k$ des produits $a_{ik} \cdot b_{kj}$. Attention : la multiplication matricielle n'est pas commutative — $A \cdot B$ est en général différent de $B \cdot A$.

Schéma montrant une ligne de la matrice A multipliée par une colonne de la matrice B pour former un élément de la matrice produit C — Chaque élément de C est le produit scalaire d'une ligne de A et d'une colonne de B.

Exemple détaillé

Soit A = [[1, 2], [3, 4]] et B = [[5, 6], [7, 8]]. On obtient alors :

$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$
$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$
$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$
$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$

Donc C = [[19, 22], [43, 50]].

Calcul étape par étape des quatre éléments d'une matrice produit 2x2 — Les quatre éléments du produit c11, c12, c21, c22 combinent chacun deux multiplications.

Plus d'exemples résolus

Chaque produit $C = A \cdot B$ est trouvé en prenant le produit scalaire d'une ligne de $A$ avec une colonne de $B$. L'entrée $C_{ij}$ utilise la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ : $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$.

Exemple 1 — Entrées négatives et décimales

Soit $A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}$.

$C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5$
$C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75$
$C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4$
$C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2$

Donc $C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$. L'entrée en haut à gauche est -5.

Exemple 2 — Multiplication par la matrice identité

Soit $A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ et $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Multiplier une matrice quelconque par l'identité retourne la matrice originale.

$C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7$
$C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3$
$C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5$

Donc $A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A$, confirmant que $I$ agit comme l'élément neutre multiplicatif.

Exemple 3 — Montrant que $A \cdot B \neq B \cdot A$

Soit $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$.

D'abord, $A \cdot B$ :

$C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10$
$C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13$
$C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20$
$C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}$ ; l'entrée en haut à gauche est 10.

Maintenant en inversant l'ordre, $B \cdot A$ :

$C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3$
$C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4$
$C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23$
$C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34$

$B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$ ; l'entrée en haut à gauche est 3.

Puisque $\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$, la multiplication matricielle n'est pas commutative : l'ordre des facteurs compte.

Définitions et glossaire

Matrice: Un tableau rectangulaire de nombres arrangés en lignes et colonnes, écrit entre crochets. Sa taille est donnée par (lignes) × (colonnes).
Matrice 2×2: Une matrice carrée avec deux lignes et deux colonnes, contenant exactement quatre entrées : $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
Entrée / élément ($a_{ij}$): Un seul nombre à l'intérieur de la matrice. La notation avec indices $a_{ij}$ identifie sa position : $i$ est le numéro de ligne et $j$ est le numéro de colonne. Par exemple, $a_{21}$ est l'entrée à la ligne 2, colonne 1.
Ligne: Une ligne horizontale d'entrées. Dans une matrice 2×2, la ligne 1 est $[a_{11}\ \ a_{12}]$ et la ligne 2 est $[a_{21}\ \ a_{22}]$.
Colonne: Une ligne verticale d'entrées. Dans une matrice 2×2, la colonne 1 est $\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}$ et la colonne 2 est $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$.
Produit scalaire: La somme des produits appariés des entrées correspondantes d'une ligne et d'une colonne. Chaque entrée de la matrice produit est le produit scalaire d'une ligne de $A$ avec une colonne de $B$, par exemple $C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}$.
Matrice produit $C$: Le résultat de la multiplication de deux matrices, $C = A \cdot B$. Pour les matrices 2×2, $C$ est aussi 2×2, avec chaque entrée $C_{ij}$ formée à partir de la ligne $i$ de $A$ et de la colonne $j$ de $B$.
Matrice identité ($I$): La matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. L'identité 2×2 est $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Elle satisfait $A \cdot I = I \cdot A = A$, agissant comme le nombre 1 en multiplication.
Commutativité: Une propriété où l'ordre des opérandes ne change pas le résultat (par exemple $2 \times 3 = 3 \times 2$). La multiplication matricielle n'est pas commutative en général : généralement $A \cdot B \neq B \cdot A$, donc les facteurs gauche et droit doivent être conservés dans l'ordre indiqué.

Questions fréquentes

$A \cdot B$ est-il égal à $B \cdot A$ ? Non. La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative : l'ordre des matrices a donc son importance.

Peut-on multiplier des matrices de tailles différentes ? Deux matrices ne peuvent être multipliées que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Deux matrices 2×2 remplissent toujours cette condition.

Qu'est-ce que la matrice identité ? La matrice identité 2×2 est [[1, 0], [0, 1]]. Multiplier n'importe quelle matrice par elle laisse cette matrice inchangée.

Calculateur de multiplication de matrices 2×2

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