2×2行列の掛け算とは？
行列の掛け算（積）とは、2つの行列を組み合わせて1つの積行列を作る計算です。2つの2×2行列AとBの場合、積\(C = A \cdot B\)もまた2×2行列になります。Cの各成分は、Aの「行」とBの「列」を取り出し、対応する要素どうしを掛け合わせて足し合わせることで求めます。これがいわゆる「行×列」の内積です。この計算ツールでは、入力した8つの数値から、Cの4つの成分すべてを自動で算出します。
この計算ツールの使い方
まず行列Aの4つの成分（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂）を入力し、続けて同じく行ごとの順番で行列Bの4つの成分を入力します。「計算する」ボタンを押すと、積行列Cが2×2のマス目の形で表示され、各成分の値も個別に確認できます。値は正の数・負の数・小数のいずれにも対応しています。
計算式の解説
2×2行列の場合、積は次のように求めます。
$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$一般に、成分\(c_{ij}\)は、kについての\(a_{ik} \cdot b_{kj}\)の総和で表されます。$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\, b_{kj}$$注意したいのは、行列の掛け算には交換法則が成り立たないという点です。つまり、\(A \cdot B\)と\(B \cdot A\)は一般に異なる結果になります。
計算例
A = [[1, 2], [3, 4]]、B = [[5, 6], [7, 8]] とすると、次のように計算できます。
$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$したがって、C = [[19, 22], [43, 50]] となります。
より詳しい例
各積 \(C = A \cdot B\) は、\(A\) の行と \(B\) の列のドット積を取ることで求められます。エントリ \(C_{ij}\) は \(A\) の行 \(i\) と \(B\) の列 \(j\) を使用します：\(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\)。
例1 — 負の数と小数のエントリ
\(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\) と \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\) とします。
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
したがって \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\)。左上のエントリは -5 です。
例2 — 単位行列による乗算
\(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) と \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) とします。任意の行列に単位行列を掛けると元の行列が返されます。
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
したがって \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\) となり、\(I\) が乗法単位元として機能することを確認できます。
例3 — \(A \cdot B \neq B \cdot A\) を示す
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) と \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\) とします。
まず、\(A \cdot B\)：
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\)；左上のエントリは 10 です。
次に順序を逆にした \(B \cdot A\)：
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)；左上のエントリは 3 です。
\(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\) であるため、行列乗法は 交換可能ではありません：因数の順序が重要です。
定義と用語集
- 行列
- 括弧の間に書かれた、行と列に配置された数値の長方形配列。サイズは（行数）×（列数）として表されます。
- 2×2 行列
- 2つの行と2つの列を持つ正方行列で、正確に4つのエントリを含みます：\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)。
- エントリ / 要素（\(a_{ij}\)）
- 行列内の単一の数値。添え字表記 \(a_{ij}\) はその位置を識別します：\(i\) は行番号で、\(j\) は列番号です。たとえば、\(a_{21}\) は行2、列1のエントリです。
- 行
- エントリの水平線。2×2 行列では、行1は \([a_{11}\ \ a_{12}]\) で、行2は \([a_{21}\ \ a_{22}]\) です。
- 列
- エントリの垂直線。2×2 行列では、列1は \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\) で、列2は \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\) です。
- ドット積
- 行と列の対応するエントリの対ごとの積の合計。積行列の各エントリは \(A\) の行と \(B\) の列のドット積です（例えば \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\)）。
- 積行列 \(C\)
- 2つの行列を乗算した結果、\(C = A \cdot B\)。2×2 行列では、\(C\) も 2×2 で、各エントリ \(C_{ij}\) は \(A\) の行 \(i\) と \(B\) の列 \(j\) から形成されます。
- 単位行列（\(I\)）
- 主対角線上に1、他の場所に0を持つ正方行列。2×2 単位行列は \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) です。\(A \cdot I = I \cdot A = A\) を満たし、乗算の数値1のように機能します。
- 交換可能性
- オペランドの順序が結果を変えない性質（例えば \(2 \times 3 = 3 \times 2\)）。行列乗法は一般には 交換可能ではありません：通常 \(A \cdot B \neq B \cdot A\) であるため、左右の因数は指定された順序で保つ必要があります。
よくある質問（FAQ）
A·BとB·Aは同じ結果になりますか？ いいえ。行列の掛け算では一般に交換法則が成り立たないため、掛ける順番によって結果が変わります。
サイズの違う行列どうしを掛け算できますか？ 行列の掛け算ができるのは、1つ目の行列の列数と2つ目の行列の行数が一致する場合に限られます。2×2行列どうしであれば、この条件は常に満たされます。
単位行列とは何ですか？ 2×2の単位行列は [[1, 0], [0, 1]] です。どんな行列にこれを掛けても、元の行列はそのまま変わりません。
