मैट्रिक्स स्केलर गुणन क्या है?
स्केलर गुणन रैखिक बीजगणित (linear algebra) की सबसे बुनियादी संक्रियाओं में से एक है। मान लीजिए कि आपके पास एक मैट्रिक्स A है और एक वास्तविक संख्या लैम्ब्डा (यानी स्केलर) है — तो स्केलर गुणनफल लैम्ब्डा गुणा A प्राप्त करने के लिए A के हर एक अवयव को लैम्ब्डा से गुणा कर दिया जाता है। इसका नतीजा एक नया मैट्रिक्स C होता है, जिसमें ठीक उतनी ही पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं जितने A में थे। मैट्रिक्स-से-मैट्रिक्स गुणन के विपरीत, यहाँ किसी आयाम (dimension) के मेल की ज़रूरत नहीं होती और यह संक्रिया किसी भी आयताकार मैट्रिक्स पर चलती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले अपने मैट्रिक्स की पंक्तियों (i) और स्तंभों (j) की संख्या चुनें। फिर टेक्स्ट बॉक्स में मैट्रिक्स A के अवयव टाइप करें — हर पंक्ति को एक अलग लाइन में रखें और एक ही पंक्ति के मानों को अल्पविराम या स्पेस से अलग करें। इसके बाद स्केलर लैम्ब्डा दर्ज करें — यह ऋणात्मक हो सकता है, दशमलव हो सकता है, या \(1.5e\text{-}3\) जैसे वैज्ञानिक नोटेशन में भी लिखा जा सकता है। आप कितने सार्थक अंक (significant digits) देखना चाहते हैं, यह चुनें और सबमिट कर दें। कैलकुलेटर परिणाम मैट्रिक्स लैम्ब्डा गुणा A लौटाता है, जिसमें मूल आयाम जस के तस बने रहते हैं।
सूत्र की व्याख्या
यह नियम हर अवयव पर अलग-अलग लागू होता है: हर पंक्ति i और स्तंभ j के लिए
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$चूँकि हर अवयव स्वतंत्र रूप से स्केल किया जाता है, इसलिए यह संक्रिया स्केलर के संबंध में क्रमविनिमेय (commutative) होती है (\(\lambda A = A \lambda\)) और वितरणात्मक (distributive) भी (\(\lambda \cdot (A + B) = \lambda A + \lambda B\))। स्केलर 0 होने पर शून्य मैट्रिक्स मिलता है; स्केलर 1 होने पर A अपरिवर्तित लौटता है; और स्केलर -1 होने पर A का ऋणात्मक रूप मिलता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) और \(\lambda = -5\)। तब
$$c_{11} = -5 \times 1 = -5, \quad c_{12} = -5 \times 2 = -10,$$$$c_{21} = -5 \times 3 = -15, \quad c_{22} = -5 \times 4 = -20$$परिणाम होगा \(C = \begin{bmatrix} -5 & -10 \\ -15 & -20 \end{bmatrix}\)। एक दूसरे उदाहरण के तौर पर, \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) को \(\lambda = 0.5\) से स्केल करने पर \(\begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0 \\ 2 & 1.5 & 2.5 \end{bmatrix}\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैट्रिक्स का वर्गाकार (square) होना ज़रूरी है? नहीं। कोई भी आयताकार आकार चलता है, जिसमें पंक्ति सदिश (row vector) और स्तंभ सदिश (column vector) भी शामिल हैं। परिणाम का आकार वही बना रहता है।
अगर कोई सेल खाली रह जाए तो क्या होता है? छूटे हुए अवयवों को 0 मान लिया जाता है, इसलिए छोटी पंक्ति को चुने गए स्तंभों की संख्या तक शून्य से भर दिया जाता है।
क्या स्केलर भिन्न या ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक संख्याएँ, दशमलव और वैज्ञानिक नोटेशन सभी समर्थित हैं, और स्केलर 0 होने पर शून्य मैट्रिक्स बनता है।
