这个计算器能做什么
本工具用于计算向量的两种基本运算：两个向量 a 和 b 的点积（内积）与叉积（外积）。点积的结果是一个标量（单个数值），而叉积的结果是一个新的三维向量，它同时垂直于两个输入向量。此外，计算器还会给出叉积的模长以及两个向量之间的夹角。
使用方法
请用英文逗号分隔的数字依次输入向量 a 和向量 b 的各个分量（例如 1, 2, 3）。计算点积时，a 和 b 可以是任意相同的维度 \(n\)；而计算叉积时，两个向量都必须正好是三个分量。你可以在下拉菜单中选择结果显示的有效数字位数——这只影响显示效果，不会改变底层的计算精度。
公式详解
点积是把对应分量相乘后再求和：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$如果结果为零，说明两个向量正交（互相垂直）。叉积得到的向量为
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$夹角则由
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$求得，这要求两个向量都不能是零向量。
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实例演算
设 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)。点积为
$$1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$叉积各分量为 \(c_1 = 2 \times 6 - 3 \times 5 = -3\)，\(c_2 = 3 \times 4 - 1 \times 6 = 6\)，\(c_3 = 1 \times 5 - 2 \times 4 = -3\)，因此 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)\)。其模长为 \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\)。
常见问题
为什么我的叉积显示“未定义”？叉积只对三维向量有定义。请确认 a 和 b 都正好有三个分量。
为什么点积显示“未定义”？点积要求 a 和 b 拥有相同数量的分量。如果两者维度不一致，该运算就无法进行。
点积为零代表什么？这说明两个向量正交，即彼此成 90 度直角。
