チェビシェフの定理とは？
チェビシェフの定理（チェビシェフの不等式とも呼ばれます）は、平均から一定の標準偏差以内に必ず収まるデータの最小割合を示すものです。最大の特長は、分布の形がどれほど歪んでいても、変わった形をしていても、あらゆる分布で成り立つ点にあります。正規分布（ベル型）にしか使えない経験則（68-95-99.7 ルール）とは異なり、チェビシェフの下限はあらゆるデータに普遍的に適用できます。
この計算ツールの使い方
平均からの標準偏差の個数である k を入力してください。すると、その範囲内に必ず含まれる観測値の最小割合（およびパーセンテージ）と、範囲外に出てしまう可能性のある最大割合が表示されます。意味のある正の下限を得るには \(k\) が 1 より大きい必要がある点に注意してください。\(k = 1\) のとき、この定理は何も保証しません（0％）。
計算式の解説
定理は次のように表されます。
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
ここで \(\mu\) は平均、\(\sigma\) は標準偏差、\(k\) は標準偏差の個数を表します。「\(1 - \frac{1}{k^{2}}\)」が、区間 \((\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)\) 内に必ず含まれる最小割合です。その余事象である「\(\frac{1}{k^{2}}\)」が、区間の外側に出る可能性のある最大割合となります。
計算例
\(k = 2\) とすると、$$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$$ になります。つまり、分布の形に関係なく、すべてのデータの少なくとも 75％ は平均から 2 標準偏差以内に収まり、外側に出るのは多くても 25％ ということです。\(k = 3\) の場合は、\(1 - \frac{1}{9} \approx 88.89\%\) が下限となります。
よくある質問
なぜ k は 1 より大きくなければならないのですか？ \(k = 1\) のとき、下限は \(1 - \frac{1}{1} = 0\) となり、何も保証されません。\(k < 1\) の場合は下限が負になって意味をなさないため、この計算ツールでは 0％ と表示されます。
経験則（68-95-99.7 ルール）とは何が違うのですか？ 経験則はおおよそのパーセンテージを示しますが、正規分布にしか使えません。一方、チェビシェフの定理はあらゆる分布に対して保証された下限を与えるため、そのパーセンテージは常に小さく（より控えめに）なります。
k に小数を使えますか？ はい。\(k\) は 1.5 や 2.5 など、1 より大きい任意の値を取れます。\(1 - \frac{1}{k^{2}}\) の式は整数でない \(k\) に対しても問題なく成り立ちます。
