De Moivre Teoremi Nedir?
De Moivre teoremi, bir karmaşık sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmenin son derece pratik bir yolunu sunar. İki terimli ifadeyi tekrar tekrar çarpmak yerine, karmaşık sayıyı kutupsal formda — yani modülü \(r\) ve argümanı \(\theta\) ile — ifade eder, ardından \(r\)'yi \(n\). kuvvete yükseltip açıyı \(n\) ile çarparsınız. Bu hesaplama aracı dönüşümü ve tüm işlemleri sizin yerinize yaparak sonucu hem kutupsal hem de kartezyen (\(a + bi\)) formda verir.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Karmaşık sayınız \(z = a + bi\)'nin gerçel kısmı \(a\) ve sanal kısmı \(b\) değerlerini girin, ardından üs \(n\)'yi yazın. Araç kutupsal formu hesaplar, De Moivre teoremini uygular ve sonucun gerçel kısmını, sanal kısmını, modülünü ve argümanını gösterir. Üs herhangi bir gerçel sayı olabilir; kökler için kesirli, ters kuvvetler için ise negatif değerler de kullanabilirsiniz.
Formülün Açıklaması
Önce kutupsal forma geçilir: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) sayının orijine olan uzaklığıdır, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) ise açıdır. De Moivre teoremi şunu söyler:
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$Yeni modül \(r^{n}\), yeni argüman ise \(n\theta\) olur. Tekrar kartezyen forma dönüldüğünde sonuç \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\) şeklinde çıkar.
Çözümlü Örnek
\(z = 1 + i\) ve \(n = 2\) alalım. Burada \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) ve \(\theta = 45°\). De Moivre teoremine göre modül \((\sqrt{2})^{2} = 2\), argüman ise \(2 \times 45° = 90°\) olur. Dolayısıyla \(z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i\). Bunu doğrudan da doğrulayabilirsiniz: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\). ✓
Sıkça Sorulan Sorular
n negatif veya kesirli olabilir mi? Evet. Negatif bir \(n\) ters kuvveti verir, kesirli bir \(n\) ise köklerden birini (asal argümana karşılık gelen asal kökü) verir.
Neden arctan yerine atan2 kullanılıyor? \(\operatorname{atan2}(b, a)\) açının doğru bölgesini (çeyreğini) verir; oysa düz \(\arctan(b/a)\) işaret bilgisini kaybeder ve \(a = 0\) olduğunda sonuç vermez.
z = 0 ise ne olur? Modül 0 olduğundan pozitif \(n\) için \(0^{n} = 0\) olur; argüman tanımsızdır ancak burada 0 olarak alınır.
