드무아브르 정리란?
드무아브르 정리는 복소수를 거듭제곱할 때 쓸 수 있는 아주 우아한 방법입니다. 이항식을 일일이 반복해서 곱하는 대신, 복소수를 극형식(절댓값 \(r\)과 편각 \(\theta\))으로 나타낸 뒤 \(r\)을 \(n\)제곱하고 각도에 \(n\)을 곱하기만 하면 됩니다. 이 계산기는 형식 변환과 계산을 모두 알아서 처리해, 결과를 극형식과 직교형식(\(a + bi\)) 두 가지로 동시에 보여 줍니다.
계산기 사용법
복소수 \(z = a + bi\)의 실수부 \(a\)와 허수부 \(b\)를 입력한 다음, 지수 \(n\)을 넣어 주세요. 계산기는 극형식으로 변환하고 드무아브르 정리를 적용해, 결과의 실수부, 허수부, 절댓값, 편각을 알려 줍니다. 지수 \(n\)에는 어떤 실수든 넣을 수 있는데, 거듭제곱근을 구하려면 분수를, 역수를 구하려면 음수를 입력하면 됩니다.
공식 풀어 보기
먼저 극형식으로 바꿉니다. \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)는 원점에서의 거리이고, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)는 각도입니다. 드무아브르 정리에 따르면 다음이 성립합니다.
$$z^{n} = \left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$즉 새 절댓값은 \(r^{n}\), 새 편각은 \(n\theta\)가 됩니다. 이를 다시 직교형식으로 되돌리면 \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)가 나옵니다.
예제로 확인하기
\(z = 1 + i\), \(n = 2\)인 경우를 봅시다. 여기서 \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)이고 \(\theta = 45°\)입니다. 드무아브르 정리를 쓰면 절댓값은 \((\sqrt{2})^{2} = 2\), 편각은 \(2 \times 45° = 90°\)가 됩니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$직접 전개해서 확인해도 \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\)로 똑같이 나옵니다. ✓
자주 묻는 질문
n이 음수나 분수여도 되나요? 됩니다. \(n\)이 음수이면 역수의 거듭제곱을 구하고, \(n\)이 분수이면 거듭제곱근 중 하나(주편각에 대응하는 주근)를 얻습니다.
왜 arctan 대신 atan2를 쓰나요? \(\operatorname{atan2}(b, a)\)는 각도가 어느 사분면에 있는지 정확히 판별해 줍니다. 반면 단순한 \(\arctan(b/a)\)는 부호 정보를 잃어버리고, \(a = 0\)일 때는 계산조차 되지 않습니다.
z = 0이면 어떻게 되나요? 절댓값이 0이므로 양수 \(n\)에 대해서는 \(0^{n} = 0\)이 됩니다. 편각은 정의되지 않지만, 여기서는 0으로 처리합니다.
