ما هي إحصائية اختبار كاي تربيع؟
تقيس إحصائية اختبار كاي تربيع (\(\chi^2\)) مدى ابتعاد مجموعة من التكرارات المُشاهَدة عن التكرارات التي تتوقعها في ظل الفرضية الصفرية. وهي حجر الأساس في اختبار جودة المطابقة (Goodness-of-Fit) واختبار الاستقلالية (Test of Independence) المبنيين على توزيع كاي تربيع. وكلما زادت قيمة \(\chi^2\)، دلّ ذلك على فارق أكبر بين ما تمت مشاهدته فعليًا وما كان متوقعًا، مما يقدّم دليلًا ضد الفرضية الصفرية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل التكرارات المُشاهَدة في صورة قائمة مفصولة بفواصل، ثم أدخل التكرارات المتوقعة المقابلة لها بالترتيب نفسه. تقوم الحاسبة بمطابقة كل قيمة مُشاهَدة مع قيمتها المتوقعة، وتحسب مساهمة كل فئة، ثم تجمعها للحصول على إحصائية \(\chi^2\) الإجمالية. كما تعرض عدد الفئات (\(k\)) ودرجات الحرية (\(k - 1\)) التي تحتاجها للبحث عن القيمة الحرجة أو القيمة الاحتمالية (p-value) في جدول توزيع كاي تربيع.
شرح المعادلة
تُحسب الإحصائية بالصيغة $$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(\text{O}_i - \text{E}_i\right)^{2}}{\text{E}_i}$$ ففي كل فئة تطرح القيمة المتوقعة من القيمة المُشاهَدة، ثم تربّع الناتج كي لا تُلغي الفروق الموجبة والسالبة بعضها بعضًا، ثم تقسم على القيمة المتوقعة لمعايرة الانحراف. وبجمع مساهمات الفئات جميعها تحصل على إحصائية الاختبار. ويجب أن تكون كل قيمة متوقعة أكبر من الصفر؛ أما الفئات التي قيمتها المتوقعة صفر فيتم تجاوزها لتفادي القسمة على صفر.
مثال تطبيقي
لنفترض أنه تم رمي حجر نرد 100 مرة، وكانت التكرارات المُشاهَدة 30 و20 و25 و25، بينما التكرارات المتوقعة متساوية وقيمة كل منها 25. عندئذٍ تكون المساهمات: \((30-25)^2/25 = 1\)، و\((20-25)^2/25 = 1\)، و\((25-25)^2/25 = 0\)، و\((25-25)^2/25 = 0\). وبجمعها نحصل على $$\chi^2 = 2.0$$ مع 4 فئات و3 درجات حرية.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني قيمة \(\chi^2\) المرتفعة؟ تشير إلى فارق كبير بين البيانات المُشاهَدة والمتوقعة، مما يوحي بأن الفرضية الصفرية قد تكون خاطئة.
كيف أحصل على القيمة الاحتمالية (p-value)؟ قارن إحصائية \(\chi^2\) بتوزيع كاي تربيع باستخدام درجات الحرية المعروضة، عبر جدول إحصائي أو برنامج متخصص.
هل يجب أن تكون القائمتان بالطول نفسه؟ نعم — يجب أن تكون لكل قيمة مُشاهَدة قيمة متوقعة مقابلة، إذ تقوم الحاسبة بمطابقتهما بالترتيب.
