ما هو رأس القطع المكافئ؟
كل دالة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية \(y = ax^2 + bx + c\) يكون تمثيلها البياني قطعًا مكافئًا. والرأس هو نقطة التحول في هذا القطع — أي أدنى نقطة فيه إذا كان القطع مفتوحًا للأعلى (\(a > 0\))، أو أعلى نقطة إذا كان مفتوحًا للأسفل (\(a < 0\)). تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد إحداثيات الرأس \((h, k)\) انطلاقًا من المعاملات a وb وc.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المعاملات الثلاثة للدالة التربيعية: a (معامل x²)، وb (معامل x)، وc (الحد الثابت). ستعرض لك الحاسبة نقطة الرأس \((h, k)\) وتعيد كتابة المعادلة في صيغة الرأس: \(y = a(x - h)^2 + k\). لاحظ أن قيمة a لا يمكن أن تساوي صفرًا، وإلا أصبحت المعادلة خطية بدلًا من أن تكون قطعًا مكافئًا.
شرح الصيغة الرياضية
يقع الإحداثي السيني للرأس على محور التماثل، في منتصف المسافة بين الجذرين تمامًا: \(h = -b / (2a)\). وبتعويض هذه القيمة في المعادلة الأصلية نحصل على الإحداثي الصادي، الذي يُختصر إلى \(k = c - b^2 / (4a)\). ومعًا يحدد الزوج \((h, k)\) موقع الرأس بدقة.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(y = x^2 - 4x + 3\)، حيث \(a = 1\)، \(b = -4\)، \(c = 3\). إذًا $$h = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ وأيضًا $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ وبذلك يكون الرأس عند النقطة \((2, -1)\)، وتُكتب صيغة الرأس على الشكل \(y = (x - 2)^2 - 1\).
الأسئلة الشائعة
هل الرأس قيمة عظمى أم صغرى؟ إذا كانت a موجبة فإن الرأس يمثل قيمة صغرى، أما إذا كانت a سالبة فهو يمثل قيمة عظمى.
ما هو محور التماثل؟ هو الخط الرأسي \(x = h\)، أي نفس قيمة الإحداثي السيني للرأس.
لماذا يجب ألا تساوي a صفرًا؟ إذا كانت \(a = 0\) يختفي الحد ax² ويتحول التمثيل البياني إلى خط مستقيم لا رأس له.
