放物線の頂点とは？
標準形 y = ax² + bx + c で表される二次関数は、グラフにすると必ず放物線になります。頂点とは、その放物線が向きを変える点のこと。a > 0 で上に開く放物線なら最も低い点、a < 0 で下に開く放物線なら最も高い点が頂点です。この計算機は、係数 a・b・c を入力するだけで頂点の座標 (h, k) を求めます。
この計算機の使い方
二次関数の3つの係数を入力します。a（x²の係数）、b（xの係数）、c（定数項）です。計算機は頂点 (h, k) を表示し、式を頂点形式 y = a(x − h)² + k に書き換えます。なお a は 0 にできません。a = 0 にすると放物線ではなく直線（一次関数）になってしまうためです。
公式の解説
頂点のx座標は対称軸の上にあり、2つの解のちょうど中間に位置します。式で表すと h = −b / (2a) です。これを元の式に代入するとy座標が得られ、整理すると k = c − b² / (4a) となります。この (h, k) が頂点の正確な位置を示します。
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$
計算例
y = x² − 4x + 3 を考えてみましょう。a = 1、b = −4、c = 3 です。まず \(h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\)。次に \(k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1\)。よって頂点は (2, −1)、頂点形式は y = (x − 2)² − 1 となります。
よくある質問
頂点は最大値ですか、最小値ですか？ a が正なら頂点は最小値、a が負なら最大値になります。
対称軸とは何ですか？ 頂点のx座標と同じ値をとる垂直な直線 x = h のことです。
なぜ a は 0 にできないのですか？ a = 0 だと ax² の項が消えてしまい、グラフが直線になります。直線には頂点が存在しません。
