포물선의 꼭짓점이란?
일반형 \(y = ax^2 + bx + c\)로 표현되는 이차함수는 그래프로 그리면 모두 포물선이 됩니다. 꼭짓점은 이 포물선의 방향이 바뀌는 지점으로, 포물선이 위로 볼록할 때(\(a > 0\))는 가장 낮은 점, 아래로 볼록할 때(\(a < 0\))는 가장 높은 점입니다. 이 계산기는 계수 \(a\), \(b\), \(c\)만 입력하면 꼭짓점 좌표 \((h, k)\)를 찾아 줍니다.
계산기 사용 방법
이차함수의 세 계수를 입력하세요. \(a\)(x²의 계수), \(b\)(x의 계수), \(c\)(상수항)입니다. 계산기는 꼭짓점 \((h, k)\)를 알려 주고, 식을 꼭짓점 형태 \(y = a(x - h)^2 + k\)로 다시 정리해 보여 줍니다. 단, \(a\)는 0이 될 수 없습니다. \(a\)가 0이면 식이 일차함수(직선)가 되어 포물선이 아니기 때문입니다.
공식 자세히 보기
꼭짓점의 x좌표는 대칭축 위에 놓이며, 두 근의 정확히 가운데에 위치합니다. 즉 \(h = -b / (2a)\)입니다. 이 값을 원래 식에 다시 대입하면 y좌표를 얻을 수 있고, 정리하면 \(k = c - b^2 / (4a)\)가 됩니다. 이렇게 구한 \((h, k)\)가 꼭짓점의 정확한 위치를 나타냅니다.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$
예제 풀이
\(y = x^2 - 4x + 3\)을 예로 들어 보겠습니다. 여기서 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 먼저 $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$이고, $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$입니다. 따라서 꼭짓점은 \((2, -1)\)이고, 꼭짓점 형태는 \(y = (x - 2)^2 - 1\)입니다.
자주 묻는 질문
꼭짓점은 최댓값인가요, 최솟값인가요? \(a\)가 양수이면 꼭짓점은 최솟값이고, \(a\)가 음수이면 최댓값입니다.
대칭축은 무엇인가요? 대칭축은 수직선 \(x = h\)이며, 꼭짓점의 x좌표와 같습니다.
왜 a는 0이 될 수 없나요? \(a = 0\)이면 \(ax^2\) 항이 사라져 그래프가 직선이 되고, 직선에는 꼭짓점이 없기 때문입니다.
