Parabolün tepe noktası nedir?
Standart biçimde y = ax² + bx + c şeklinde yazılan her ikinci derece fonksiyonun grafiği bir parabol oluşturur. Tepe noktası, bu parabolün dönüm noktasıdır; parabol yukarı doğru açılıyorsa (a > 0) en alçak nokta, aşağı doğru açılıyorsa (a < 0) en yüksek noktadır. Bu hesaplama aracı, a, b ve c katsayılarından tepe noktasının (h, k) koordinatlarını bulur.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İkinci derece denkleminizin üç katsayısını girin: a (x² katsayısı), b (x katsayısı) ve c (sabit terim). Araç, tepe noktasını (h, k) hesaplar ve denklemi tepe noktası biçiminde, yani y = a(x − h)² + k şeklinde yeniden yazar. a değerinin sıfır olamayacağını unutmayın; aksi takdirde denklem parabol değil doğrusal bir denklem olurdu.
Formülün açıklaması
Tepe noktasının x koordinatı, köklerin tam ortasında yer alan simetri ekseni üzerindedir: \(h = -\frac{b}{2a}\). Bu değeri orijinal denklemde yerine koyduğumuzda y koordinatını elde ederiz ve bu da \(k = c - \frac{b^{2}}{4a}\) şeklinde sadeleşir. (h, k) çiftiyle birlikte tepe noktası tam olarak belirlenir.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^{2}}{4a}\right)$$
Örnek çözüm
y = x² − 4x + 3 denklemini ele alalım; burada a = 1, b = −4, c = 3'tür. Buradan $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ olur. Ardından $$k = 3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ bulunur. Tepe noktası (2, −1), tepe noktası biçimi ise y = (x − 2)² − 1 olur.
Sık sorulan sorular
Tepe noktası maksimum mu yoksa minimum mu? a pozitifse tepe noktası bir minimum, a negatifse bir maksimumdur.
Simetri ekseni nedir? x = h dikey doğrusudur; yani tepe noktasının x koordinatıyla aynıdır.
a neden sıfırdan farklı olmalı? a = 0 olduğunda ax² terimi yok olur ve grafik düz bir doğruya dönüşür; bu doğrunun ise tepe noktası yoktur.
