यह कैलकुलेटर क्या करता है
बहुभुज आंतरिक कोण कैलकुलेटर किसी भी बहुभुज के आंतरिक कोणों का कुल योग, प्रत्येक आंतरिक कोण की माप (नियमित बहुभुज के लिए) और प्रत्येक बाह्य कोण की माप ज्ञात करता है। बस भुजाओं की संख्या n दर्ज करें, और यह टूल तुरंत मानक बहुभुज कोण सूत्रों को लागू कर देता है। यह त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज से लेकर कितनी भी भुजाओं वाले बहुभुज तक के लिए काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजाओं की संख्या (n) दर्ज करें — यह 3 या उससे अधिक होनी चाहिए, क्योंकि किसी भी बहुभुज में कम से कम तीन भुजाएँ ज़रूरी होती हैं। गणना करें पर क्लिक करें, और आपको आंतरिक कोणों का योग तथा प्रत्येक आंतरिक और बाह्य कोण का माप दिखाई देगा — यह मानते हुए कि यह एक नियमित बहुभुज है (जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों)। अनियमित बहुभुज के लिए केवल योग वाला आँकड़ा हर हाल में सही रहता है; उसके अलग-अलग कोण भिन्न हो सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
किसी भी बहुभुज को (n − 2) त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, और प्रत्येक त्रिभुज 180° का योगदान देता है। इसलिए सभी आंतरिक कोणों का योग होता है:
$$\text{योग} = \left(n - 2\right) \times 180^{\circ}$$
नियमित बहुभुज में हर आंतरिक कोण बराबर होता है, इसलिए प्रत्येक कोण योग को n से भाग देने पर मिलता है:
$$\text{प्रत्येक आंतरिक कोण} = \frac{\left(n - 2\right) \times 180^{\circ}}{n}$$
चूँकि प्रत्येक भुजा पर आंतरिक और बाह्य कोण संपूरक (supplementary) होते हैं, इसलिए नियमित बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण बस \(360^{\circ} \div n\) होता है, और सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° रहता है।
हल किया गया उदाहरण
एक षट्भुज (hexagon) के लिए, n = 6। आंतरिक कोणों का योग है $$\left(6 - 2\right) \times 180 = 4 \times 180 = 720^{\circ}$$ प्रत्येक आंतरिक कोण है \(720 \div 6 = 120^{\circ}\)। प्रत्येक बाह्य कोण है \(360 \div 6 = 60^{\circ}\)। जाँचें: \(120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}\), जिससे पुष्टि होती है कि ये संपूरक हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह अनियमित बहुभुजों के लिए काम करता है? आंतरिक कोणों का योग किसी भी बहुभुज के लिए सही होता है, चाहे वह नियमित हो या नहीं। "प्रत्येक कोण" वाले परिणाम यह मानकर निकाले जाते हैं कि बहुभुज नियमित है और उसके सभी कोण बराबर हैं।
सबसे छोटा बहुभुज कौन सा है? त्रिभुज, जिसमें n = 3 होता है और जिसके आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° रहता है।
बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° क्यों होता है? जब आप किसी उत्तल (convex) बहुभुज के चारों ओर एक बार चलते हैं, तो आप पूरे एक वृत्त के बराबर घूम जाते हैं, इसलिए सभी बाह्य घुमावों का योग भुजाओं की संख्या चाहे जो भी हो, 360° ही होता है।
