이 계산기로 무엇을 할 수 있나요?
이 도구는 표준형 \(y = ax^2 + bx + c\) 로 주어진 포물선을 분석하여 핵심 기하 정보인 꼭짓점(극값을 이루는 전환점), 초점, 준선을 한 번에 알려 줍니다. 이 세 가지 정보만 있으면 세로로 열린 포물선의 모양과 위치를 완전히 파악할 수 있어, 대수·이차곡선 학습은 물론 광학이나 포물선 운동 문제를 풀 때도 매우 유용합니다.
사용 방법
식에 나타난 그대로 세 계수 a, b, c를 입력하세요. 단, 계수 a는 0이 되어서는 안 됩니다(0이면 직선이 되어 포물선이 아닙니다). 입력하는 순간 계산기가 꼭짓점 좌표, 초점 위치, 그리고 준선의 방정식을 바로 보여 줍니다.
공식 풀이
꼭짓점의 x좌표는 \(h = -\frac{b}{2a}\) 입니다. 이 값을 원래 식에 대입하면 y좌표 \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) 를 얻습니다. 초점까지의 거리는 \(p = \frac{1}{4a}\) 로 구합니다. a > 0이면 포물선이 위로 열리며 초점은 꼭짓점보다 위쪽인 \((h,\, k + p)\)에 놓이고, 준선은 수평선 \(y = k - p\)가 됩니다. 반대로 a < 0이면 아래로 열리는데, 이때 p가 음수가 되므로 부호가 자연스럽게 뒤바뀝니다.
예제로 익히기
\(y = x^2 - 4x + 3\) 을 살펴보면 a = 1, b = −4, c = 3 입니다. 따라서 $$h = \frac{4}{2} = 2, \quad k = 3 - \frac{16}{4} = -1$$ 이므로 꼭짓점은 (2, −1)이 됩니다. \(p = \frac{1}{4} = 0.25\) 이므로 초점은 (2, −0.75), 준선은 \(y = -1.25\) 입니다.
자주 묻는 질문
a가 음수이면 어떻게 되나요? 포물선이 아래로 열립니다. 초점은 꼭짓점 아래에, 준선은 위쪽에 위치하게 되며, 공식이 이를 자동으로 처리합니다.
왜 a ≠ 0 이어야 하나요? a = 0이면 x² 항이 사라져 그래프가 직선이 되고, 꼭짓점이나 초점이 존재하지 않기 때문입니다.
옆으로 열린 포물선에도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 계산기는 \(y = ax^2 + bx + c\) 형태의 세로로 열린 포물선만 다룹니다.
